第三章 序列算子與灰色序列生成

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1、第三章序列算子與灰色序列生成3.1引言灰色系統(tǒng)理論的主要任務(wù)之一，就是根據(jù)社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)等系統(tǒng)的行為特征數(shù)據(jù)，尋找不同系統(tǒng)變量之間或某些系統(tǒng)變量自身的數(shù)學(xué)關(guān)系與變化規(guī)律。灰色系統(tǒng)理論認(rèn)為任何隨機(jī)過(guò)程都是在一定幅值范圍和一定時(shí)區(qū)內(nèi)變化的灰色量，并把隨機(jī)過(guò)程看成灰色過(guò)程。事實(shí)上，研究系統(tǒng)的行為特征，得到的數(shù)據(jù)往往是一串確定的白數(shù)，我們把它看成是某個(gè)隨機(jī)過(guò)程的一條軌道或現(xiàn)實(shí)，或是看成灰色過(guò)程的白化值，這并沒(méi)有本質(zhì)上的區(qū)別。如何通過(guò)系統(tǒng)行為特征數(shù)據(jù)研究其發(fā)展規(guī)律，不同的方法思路也不一樣。隨機(jī)過(guò)程是以先驗(yàn)概率為出發(fā)點(diǎn)，研究數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。這種方法是建立在大量數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上的。但有時(shí)候，即使

2、有了大量的數(shù)據(jù)也未必一定能找到統(tǒng)計(jì)規(guī)律。因?yàn)楦怕收摶螂S機(jī)過(guò)程中研究的典型分布是十分有限的，對(duì)于非典型的分布過(guò)程（如平穩(wěn)過(guò)程、高斯過(guò)程、馬爾可夫過(guò)程或白噪聲過(guò)程等以外的分布過(guò)程），往往難以處理?；疑到y(tǒng)是通過(guò)對(duì)原始數(shù)據(jù)的挖掘、整理來(lái)尋求其變化規(guī)律的，這是一種就數(shù)據(jù)尋找數(shù)據(jù)的現(xiàn)實(shí)規(guī)律的途徑，我們稱為灰色序列生成?；疑到y(tǒng)理論認(rèn)為，盡管客觀系統(tǒng)表象復(fù)雜，數(shù)據(jù)離亂，但它總是有整體功能的，因此必然蘊(yùn)含某種內(nèi)在規(guī)律。關(guān)鍵在于如何選擇適當(dāng)?shù)姆绞饺ネ诰蛩屠盟?。一切灰色序列都能通過(guò)某種生成弱化其隨機(jī)性，顯現(xiàn)其規(guī)律性。例如，已給原始數(shù)據(jù)數(shù)列它沒(méi)有明顯的規(guī)律性。將上述數(shù)據(jù)作圖如下：xx3X=X(0

3、)6X=X(1)2412001234k1234k圖3.1.1圖3.1.2由圖3.1.1可以看出，的曲線是擺動(dòng)的，起伏變化幅度較大。對(duì)原始數(shù)據(jù)做一次累加生成，將所得新序列記為，則已呈現(xiàn)明顯的增長(zhǎng)規(guī)律性，如圖3.1.2所示。3.2沖擊擾動(dòng)系統(tǒng)與序列算子一、沖擊擾動(dòng)系統(tǒng)預(yù)測(cè)陷阱沖擊擾動(dòng)系統(tǒng)預(yù)測(cè)是一個(gè)歷來(lái)令預(yù)測(cè)專家棘手的問(wèn)題。對(duì)于沖擊擾動(dòng)系統(tǒng)預(yù)測(cè)，模型選擇理論也將失去其應(yīng)有的功效。因?yàn)閱?wèn)題的癥結(jié)不在模型的優(yōu)劣，而是由于系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)因系統(tǒng)本身受到某種沖擊波的干擾而失真。這時(shí)候，系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)已不能正確地反映系統(tǒng)的真實(shí)變化規(guī)律。定義3.2.1設(shè)為系統(tǒng)真實(shí)行為序列，而觀測(cè)到的系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列為X

4、=(x(1),x(2),…,x(n))=(x(0)(1)+ε1,x(0)(2)+ε2,…,x(0)(n)+εn)=X(0)+ε其中ε=（ε1，ε2，…,εn）為沖擊擾動(dòng)項(xiàng)，則稱X為沖擊擾動(dòng)序列。要從沖擊擾動(dòng)序列X出發(fā)實(shí)現(xiàn)對(duì)真實(shí)行為序列為X(0)的系統(tǒng)之變化規(guī)律的正確把握和認(rèn)識(shí)，必須首先跨越障礙ε。如果不事先排除干擾，而用失真的數(shù)據(jù)X直接建模、預(yù)測(cè)，則會(huì)因模型所描述的并非由X(0)所反映的系統(tǒng)真實(shí)變化規(guī)律而導(dǎo)致預(yù)測(cè)的失敗。沖擊擾動(dòng)系統(tǒng)的大量存在導(dǎo)致了定量預(yù)測(cè)結(jié)果與人們直觀的定性分析結(jié)論大相徑庭的現(xiàn)象經(jīng)常發(fā)生。因此，尋求定量預(yù)測(cè)與定性分析的結(jié)合點(diǎn)，設(shè)法排除系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)所受到的沖擊波干

5、擾，還數(shù)據(jù)以本來(lái)面目，從而提高預(yù)測(cè)的命中率，乃是擺在每一位預(yù)測(cè)工作者面前的一個(gè)首要問(wèn)題。本節(jié)的討論圍繞一個(gè)總目標(biāo)：由X→X(0)展開(kāi)。一、緩沖算子公理定義3.2.2設(shè)系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列為X=(x(1),x(2),…,x(n)),1。若"k=2,3,…,n,x(k)x(k1)>0,則稱X為單調(diào)增長(zhǎng)序列；2。若1。中不等號(hào)反過(guò)來(lái)成立，則稱X為單調(diào)衰減序列；3。若存在k,kˊ{2,3,…,n},有則稱X為隨機(jī)振蕩序列。設(shè)稱為序列X的振幅。定義3.2.3設(shè)X為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)系列，D為作用于X的算子，X經(jīng)過(guò)算子D作用后所得序列記為稱D為序列算子，稱XD為一階算子作用序列。序列算子的作用可以進(jìn)行

6、多次，相應(yīng)的，若D1,D2,D3皆為序列算子，我們稱D1D2為二階算子，并稱為二階算子作用序列。同理稱D1D2D3為三階序列算子，并稱為三階算子作用序列，等等。公理3.2.1（不動(dòng)點(diǎn)公理）設(shè)X為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)系列，D為序列算子，則D滿足x(n)d=x(n)不動(dòng)點(diǎn)公理限定在序列算子作用下，系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列中的數(shù)據(jù)x(n)保持不變，即運(yùn)用序列算子對(duì)系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)進(jìn)行調(diào)整，不改變x(n)這一即成事實(shí)。根據(jù)定性分析的結(jié)論，亦可使x(n)以前的若干個(gè)數(shù)據(jù)在序列算子作用下保持不變。例如，令x(j)d≠x(j)且x(i)d=x(i)其中j=1,2,…,k-1;i=k,k+1,…,n.公理3.2.2

7、（信息充分利用公理）系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列X中的每一個(gè)數(shù)據(jù)x(k),k=1,2,…,n都應(yīng)充分的參與算子作用的全過(guò)程。信息充分利用公理限定任何序列算子都應(yīng)以現(xiàn)有的序列中的信息為基礎(chǔ)進(jìn)行定義，不允許拋開(kāi)原始數(shù)據(jù)另搞一套。公理3.2.3（解析化、規(guī)范化公理）任意的x(k)d,(k=1,2,…,n),皆可由一個(gè)統(tǒng)一的x(1),x(2),…,x(n)的初等解析式表達(dá)。公理3.2.3要求由系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)系列得到算子作用序列的程序清晰、規(guī)范、統(tǒng)一且盡可能簡(jiǎn)化，以便于計(jì)算出算子作用序列并使計(jì)算易于在計(jì)