《直線與平面垂直(1)》示范公開課教學(xué)課件【高中數(shù)學(xué)北師大】

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第六章立體幾何初步6.5.1直線與平面垂直（1）

11.理解和掌握線面垂直的定義、性質(zhì)定理及線面夾角的定義；2.理解線線垂直、線面垂直和線線平行間的相互轉(zhuǎn)化；3.通過啟發(fā)引導(dǎo)，讓學(xué)生在探索中尋找真理，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索，敢于創(chuàng)新的精神.線面垂直的性質(zhì)定理.線面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用.

2觀察下列各組圖片，這些圖片都給我們什么樣的印象呢？直線與平面垂直生活中還有哪些線面垂直的例子呢？

3觀察，天安門廣場的旗桿與底面垂直，旗桿所在直線與其在地面的影子所在直線是什么關(guān)系呢？旗桿與地面的其他不相交直線是什么關(guān)系呢？異面垂直旗桿與地面上的任意直線都垂直嗎？是的（相交垂直或異面垂直）垂直嘗試用線線垂直來定義線面垂直吧！影子移動時，旗桿和影子的位置關(guān)系是否發(fā)生變化？不變，仍然垂直

4一般地，如圖，如果直線與平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，那么稱直線與平面垂直.記作⊥.直線稱為平面的垂線，平面稱為直線的垂面，它們唯一的公共點(diǎn)稱為垂足.（1）如果直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，那么直線與平面垂直嗎？（2）如果直線與平面內(nèi)的所有直線都垂直，那么直線與平面垂直嗎？不一定垂直任何一條直線所有直線無數(shù)條直線

5（1）過空間一點(diǎn)有幾條直線和已知平面垂直？（2）過空間一點(diǎn)有幾個平面與已知直線垂直？點(diǎn)在面內(nèi)點(diǎn)在面外點(diǎn)在線上點(diǎn)在線外有且僅有一個有且僅有一個

6ABCDA′B′C′D′四條側(cè)棱AA′、BB′、CC′、DD′之間是什么關(guān)系？互相平行如圖，長方體ABCD-A′B′C′D′中，側(cè)棱AA′、BB′、CC′、DD′與底面ABCD是什么關(guān)系？垂直我們知道，在平面內(nèi)，如果兩條直線同垂直于另一條直線，那么這兩條直線平行．這個性質(zhì)能推廣到空間嗎？垂直于同一平面的兩直線平行你能證明你的猜想嗎？

7已知：a⊥，b⊥，垂足分別為A、B.求證：a∥b.證明：假定a與b不平行，則過點(diǎn)B作a的平行線b′，b′與b不重合.∵bb′=B，∴直線b與b′確定一個平面，記為，且記=l.直接證不好證，可采用反證法.ABabb′l∵a⊥，b⊥，∴b⊥l，a⊥l.又b′∥a，∴b′⊥l.此時，在平面內(nèi)，經(jīng)過直線l上同一點(diǎn)B就有兩條直線b與b′都與l垂直，這與“平面內(nèi)，過直線上的一點(diǎn)只有一條直線與已知直線垂直”相矛盾.∴a∥b.

8線線平行垂直于同一平面的兩條直線平行.若a⊥，b⊥，則a∥b.符號語言直線與平面垂直的性質(zhì)定理ABab目前為止，我們學(xué)了哪些定理可以判定線線平行？此定理揭示了“平行”與“垂直”間的一種聯(lián)系.線面平行面面平行線面垂直性質(zhì)定理

9（1）在空間內(nèi)，過直線上的任意一點(diǎn)有無數(shù)條直線與已知直線垂直，這些直線都在同一平面內(nèi)，且相交于一點(diǎn).（2）不能．若兩直線垂直于同一平面，則這兩條直線平行.（1）在證明直線與平面垂直的性質(zhì)定理時，用到了“平面內(nèi)，過直線上的一點(diǎn)只有一條直線與已知直線垂直”，那么，在空間內(nèi)，過直線上的任意一點(diǎn)有多少條直線與已知直線垂直？這些直線之間有什么關(guān)系？（2）兩異面直線能否垂直于同一平面？

10前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了點(diǎn)到平面的距離，即，從平面外一點(diǎn)作一個平面的垂線，這個點(diǎn)和垂足間的距離稱為點(diǎn)到平面的距離．那么，直線與平面的距離如何定義呢？如果一條直線與平面平行，那么這條直線上任意一點(diǎn)到平面的距離就是這條直線到這個平面的距離.如果一條直線平行于一個平面，那么這條直線上各點(diǎn)到這個平面的距離有什么關(guān)系？距離均相等為什么？

11已知：直線l與平面平行.求證：直線l上的各點(diǎn)到平面的距離相等.∵AE⊥，BF⊥，∴AE∥EF.lABEF證明：過直線l上任意兩點(diǎn)A，B分別作平面的垂線，垂足分別為E，F(xiàn).設(shè)過直線AE和BF的平面為，則.∵l∥，∴l(xiāng)∥EF.∴四邊形AEFB是平行四邊形.∴AE=BF，即直線l上的各點(diǎn)到平面的距離相等.（1）作垂線AE，BF.（2）證明AEBF即可.

12直線與平面之間的位置關(guān)系有哪些？線面垂直屬于哪一類？線面相交還可細(xì)分為兩類：垂直和斜交．線在面內(nèi)線面相交線面平行

13如圖，一條直線與一個平面相交，但不與這個平面垂直，這條直線稱為這個平面的斜線，斜線與平面的交點(diǎn)A稱為斜足.過斜線上斜足以外的一點(diǎn)P向平面作垂線，過垂足O和斜足A的直線AO稱為斜線在這個平面上的投影.平面的一條斜線與它在平面上的投影所成的銳角，叫作這條直線與這個平面所成的角.一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是直角；一條直線于平面平行，或在平面內(nèi)，就說它們所成的角是0°的角.關(guān)鍵在于找線面垂直（PO⊥平面）

14已知直線a在平面上，則“直線l⊥a”是“直線l⊥”的（）條件.A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.非充分非必要解：①先討論必要性.∵l⊥，∴l(xiāng)垂直于內(nèi)的所有直線，∴l(xiāng)⊥a.必要性成立.B②再討論充分性.如圖，長方體中，l⊥a，但l與底面并不垂直，故充分性不成立.la故選擇B選項(xiàng).

15如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1.（1）求D1A與底面ABCD所成的角；（2）設(shè)正方體的棱長為a，求D1B與底面ABCD所成角的余弦值.解：（1）∵DD1⊥底面ABCD，∴∠D1AD是D1A與底面ABCD所成的角.∵側(cè)面A1ADD1是正方形，∴∠D1AD=45°，即D1A與底面ABCD所成的角為45°.（1）DD1⊥底面ABCD，顯然，∠D1AD就是所求的角.

16解：（2）連接BD，則BD=a.∵DD1⊥底面ABCD，∴∠D1BD是D1B與底面ABCD所成的角，且D1D⊥DB.在Rt△D1BD中，DD1=a，BD=a，D1B=a，∴.即D1B與底面ABCD所成的角的余弦值為.如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1.（1）求D1A與底面ABCD所成的角；（2）設(shè)正方體的棱長為a，求D1B與底面ABCD所成角的余弦值.（2）連接BD，由于DD1⊥底面ABCD，故∠D1BD即所求的角.

17（1）a⊥，b∥，則a與b的位置關(guān)系是.（2）若直線l不垂直于平面，那么在平面內(nèi)（）A.不存在與l垂直的直線B.只存在一條與l垂直的直線C.存在無數(shù)條直線與l垂直D.以上都不對（1）∵b∥，∴存在一個過直線b的平面與平行.又a⊥，∴a⊥.∴a⊥b.垂直解：（1）多個平面平行時，若一條直線垂直其中一個平面，則這條直線垂直于所有平面.

18C（2）∵直線l不垂直于平面∴l(xiāng)?或l∥或l與斜交①當(dāng)l?或l∥時，顯然在內(nèi)存在無數(shù)條直線與l垂直；②當(dāng)l與斜交時，如長方體中，A′B與底面ABCD斜交，底面ABCD中所有與BC平行的直線均與A′B垂直.ABCDA′B′C′D′（2）可借助長方體幫助理解.解：（1）a⊥，b∥，則a與b的位置關(guān)系是.（2）若直線l不垂直于平面，那么在平面內(nèi)（）A.不存在與l垂直的直線B.只存在一條與l垂直的直線C.存在無數(shù)條直線與l垂直D.以上都不對垂直內(nèi)也存在無數(shù)條直線與l垂直.故選C.

19若斜線段AB是它在平面內(nèi)的射影長的2倍，則AB與所成的角為（）A.60°B.45°C.30°D.120°如右圖所示，點(diǎn)A為斜足，O為垂足，AO即在AB在內(nèi)的射影，∴AB=2AO∴cos∠BAO，∴AB與所成的角為60°.BOAA解：

20如圖所示，ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，求SC與平面ABCD所成的角的正切值.連接AC，根據(jù)線面角的定義，∠SCA即所求角.解：連接AC∵SA⊥平面ABCD∴∠SCA即SC與平面ABCD所成的角在Rt△ABC中，∴tan∠SCA即SC與平面ABCD所成的角的正切值為.ADBCS

21課堂小結(jié)2、線面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一平面的兩條直線平行.1、線面垂直的定義：如果直線與平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，那么稱直線與平面垂直.3、平面的一條斜線與它在平面上的投影所成的銳角，叫作這條直線與這個平面所成的角.線面垂直線線垂直線面垂直線線平行

22教材第229頁練習(xí)第1、2、3題．

23謝謝大家！敬請各位老師提出寶貴意見！

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