四川省瀘縣第五中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)（理） Word版含解析.docx

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瀘縣第五中學(xué)2023年春期高二期中考試數(shù)學(xué)（理工類）試卷第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等，則A.-2B.-1C.1D.2【答案】B【解析】【分析】利用實(shí)虛部相等列式求解【詳解】復(fù)數(shù).實(shí)部與虛部相等，則.故選：B.2.已知為正整數(shù)，且，則在數(shù)列中，“”是“是等比數(shù)列”的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】若“{an}是等比數(shù)列”，則am?an＝a12qm+n﹣2，ap?aq＝a12qp+q﹣2，∵m+n＝p+q，∴am?an＝ap?aq成立，即必要性成立，若an＝0，則{an}是等差數(shù)列，當(dāng)m+n＝p+q時(shí)，由“am?an＝ap?aq”成立，但“{an}是等比數(shù)列”不成立，即充分性不成立，則“am?an＝ap?aq”是“{an}是等比數(shù)列”的成立的必要不充分條件，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q 的即不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．3.已知與之間的一組數(shù)據(jù)：若關(guān)于的線性回歸方程為，則的值為（）12343.2487.5A.1B.0.85C.0.7D.0.5【答案】D【解析】【分析】求出樣本數(shù)據(jù)中心點(diǎn)坐標(biāo)，代入回歸直線方程求解.【詳解】，，因?yàn)殛P(guān)于的線性回歸方程為，所以，解得，故選：D4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的為A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】計(jì)算各循環(huán)得周期進(jìn)而得到結(jié)果【詳解】輸入不滿足，不滿足，不滿足，觀察規(guī)律可得：的取值周期為，由可得不滿足，不滿足，滿足，退出循環(huán)，輸出故選:B5.在的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為（）A.21B.－21C.35D.－35【答案】D【解析】【分析】首先寫出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，再令求出，再代入計(jì)算可得；【詳解】解：二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，令，解得，所以含項(xiàng)的系數(shù)為；故選：D6.已知新華中學(xué)高一2班有20人，某次數(shù)學(xué)考試中，得分被評(píng)為等的5人，等8人，等7人.從中隨意選取2人，則這兩人得分在同一等級(jí)的概率為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)選取的人全為等或等或等中的人，結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求概率. 【詳解】設(shè)“兩人得分在同一等級(jí)”為事件，則.故選：B.7.2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)中國(guó)體育代表團(tuán)共收獲9金4銀2銅，金牌數(shù)和獎(jiǎng)牌數(shù)均創(chuàng)歷史新高．獲得的9枚金牌中，5枚來自雪上項(xiàng)目，4枚來自冰上項(xiàng)目．某體育院校隨機(jī)調(diào)查了100名學(xué)生冬奧會(huì)期間觀看雪上項(xiàng)目和冰上項(xiàng)目的時(shí)間長(zhǎng)度（單位：小時(shí)），并按，，，，分組，分別得到頻率分布直方圖如下：估計(jì)該體育院校學(xué)生觀看雪上項(xiàng)目和冰上項(xiàng)目的時(shí)間長(zhǎng)度的第75百分位數(shù)分別是和，方差分別是和，則（）A.，B.，C.，D.，【答案】A【解析】【分析】分別計(jì)算出和，進(jìn)行比較；由方差的意義比較和，即可得到答案.【詳解】由題意進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，可得：，解得：；，解得：；所以.比較兩個(gè)頻率分布直方圖可以看出：雪上項(xiàng)目的數(shù)據(jù)更分散，冰上項(xiàng)目的數(shù)據(jù)更集中，由方差的意義可以得到：.故選：A8.如圖，矩形中，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為．且點(diǎn)與點(diǎn)在函數(shù) 的圖像上．若在矩形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自空白部分的概率等于A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】計(jì)算點(diǎn)CD坐標(biāo)，得陰影和空白面積得概率【詳解】由題意，，，，陰影部分面積為，空白部分面積為，所求概率為．故選：A9.若直線是曲線的一條切線，則實(shí)數(shù)（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)，根據(jù)斜率求得切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得.【詳解】因?yàn)?，所以，令，即，得或（舍去），所以切點(diǎn)是，代入，得，.故選：D10.一個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為10，四個(gè)這樣相同等腰三角形底邊圍成正方形，如圖，若這四個(gè)三角形都繞底邊旋轉(zhuǎn)，四個(gè)頂點(diǎn)能重合在一起，構(gòu)成一個(gè)四棱錐，則圍成的四棱錐的體積的最大值為 A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由題意作出草圖，設(shè)底面正方形邊長(zhǎng)的一半為，由勾股定理，求出棱錐的高，利用棱錐體積公式得到體積關(guān)于的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求最值，即可得到結(jié)果．【詳解】設(shè)四棱錐為，如下圖所示：設(shè)四棱錐高為，取中點(diǎn)，設(shè)四棱錐底面正方形邊長(zhǎng)的一半為，則側(cè)面等腰三角形的腰長(zhǎng)，所以，在直角中，，所以四棱錐的高，所以．設(shè)，則，令，可得（舍去）或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 所以當(dāng)時(shí)，取到最大值，即當(dāng)時(shí)，取到最大值∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了錐體體積的求法，考查導(dǎo)數(shù)在求最值中應(yīng)用，是中檔題．11.設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與交于A，B兩點(diǎn)，若，且，則的離心率為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由已知條件和橢圓定義，將用表示，在中求出，在用余弦定理，建立等量關(guān)系，即可求解.【詳解】設(shè)，則，，所以，解得，所以，，連接，則.在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得，所以，整理得，因?yàn)?，所?故選：B12.已知函數(shù)，，若存在使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用，把問題轉(zhuǎn)化為與在有交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分析，即可求解【詳解】，所以，，即與在有交點(diǎn)，分情況討論：①直線過點(diǎn)，即，得；②直線與相切，設(shè)切點(diǎn)為，得，切點(diǎn)為，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是故選：B【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)方程的交點(diǎn)問題，主要考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，屬于中檔題 第II卷非選擇題（90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.函數(shù)的圖像在處的切線方程為_____.【答案】【解析】【分析】首先計(jì)算，得到切點(diǎn)為，求導(dǎo)將代入得到，再利用點(diǎn)斜式寫出切線方程即可.【詳解】，所以切點(diǎn)為，則所以切線方程為：即故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于簡(jiǎn)單題.14.已知命題：：不等式的解集為；：不等式的解集為，若命題與命題中至少有一個(gè)為假命題，則的取值范圍為_______________.【答案】【解析】【分析】先求得均為真命題時(shí)的取值范圍，再求得至少有一個(gè)為假命題時(shí)的取值范圍.【詳解】當(dāng)為真命題時(shí)，，解得.當(dāng)為真命題時(shí)，，解得.故均為真命題時(shí)的取值范圍是，所以命題與命題中至少有一個(gè)為假命題，則的取值范圍為.故填：.【點(diǎn)睛】本小題主要考查命題真假性，考查不等式的解集恒成立問題，屬于基礎(chǔ)題.15.有六種不同顏色,給如圖的六個(gè)區(qū)域涂色,要求相鄰區(qū)域不同色,不同的涂色方法共有________.【答案】4320 【解析】【分析】利用分步乘法原理，保證相鄰兩塊的顏色不同，即可得答案.【詳解】第一個(gè)區(qū)域有6種不同的涂色方法，第二個(gè)區(qū)域有5種不同的涂色方法，第三個(gè)區(qū)域有4種不同的涂色方法，第四個(gè)區(qū)域有3種不同的涂色方法，第五個(gè)區(qū)域有4種不同的涂色方法，第六個(gè)區(qū)域有3種不同的涂色方法，根據(jù)乘法原理.【點(diǎn)睛】本題考查分步乘法原理的應(yīng)用，考查分類討論思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力.16.已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)、，則的取值范圍為_________.【答案】【解析】【分析】確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，利用極值的定義，建立方程，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求的取值范圍．【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，依題意，方程有兩個(gè)不等的正根、（其中），則，由韋達(dá)定理得，，所以，令，則，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，.因此，的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)極值點(diǎn)問題，考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值，將的取值范圍轉(zhuǎn)化為以為自變量的函數(shù)的值域問題是解答的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中等題. 三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分17.已知三次函數(shù)的極大值是，其導(dǎo)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，如圖所示，求（1），，的值；（2）若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（1），，；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷原函數(shù)的極值點(diǎn)，再利用代入法求解即可；（2）根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義，通過數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知：當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，于是有，由，所以有；【小問2詳解】 由（1）函數(shù)的極小值為，極大值為，而知函數(shù)的圖象如下圖所示因?yàn)楹瘮?shù)有三個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)的圖象與直線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，所以.18.隨著2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)的如火如荼地進(jìn)行.2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)吉祥物“冰墩墩”受到人們的青睞，現(xiàn)某特許商品專賣店每天均進(jìn)貨一次，賣一個(gè)吉祥物“冰墩墩”可獲利50元，若供大于求，則每天剩余的吉祥物“冰墩墩”需交保管費(fèi)10元/個(gè)；若供不應(yīng)求，則可從其他商店調(diào)劑供應(yīng)，此時(shí)調(diào)劑的每一個(gè)吉祥物“冰墩墩”該店僅獲利20元．該店調(diào)查上屆冬季奧運(yùn)會(huì)吉祥物每天(共計(jì)20天)的需求量(單位：個(gè))，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到下表：每天需求量162163164165166頻數(shù)24653以上述20天吉祥物的需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率．記X表示每天吉祥物“冰墩墩”的需求量．（1）求X的分布列；（2）若該店某一天購進(jìn)164個(gè)吉祥物“冰墩墩”，則當(dāng)天的平均利潤(rùn)為多少元．【答案】（1）162163164165166（2）8187（元）【解析】【分析】（1）可取162，163，164，165，166，求出對(duì)應(yīng)概率，然后再寫出分布列即可；（2）設(shè)表示每天的利潤(rùn)，求出所有的取值，再根據(jù)期望公式即可得解.【小問1詳解】解：可取162，163，164，165，166， ，，，，，所以分布列為：162163164165166【小問2詳解】設(shè)表示每天的利潤(rùn)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以平均利潤(rùn)為（元）.19.如圖，四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，面ABCD，，．（1）求點(diǎn)A到平面PBC的距離；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1） （2）【解析】【分析】(1)連接AC，根據(jù)線面垂直得到線線垂直，再利用線面垂直判定得到面，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的方法求解即可；(2)根據(jù)（1）中的坐標(biāo)，分別求出兩平面的法向量，利用向量的夾角公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解.【小問1詳解】連接AC，面ABCD，，面PAC，面PAC，，面，，以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AP為z軸建立坐標(biāo)系則，，，設(shè)平面的法向量為，即，令，則，，A到面PBC距離.【小問2詳解】由（1）可知：，，，，設(shè)平面的法向量為， 即，，令，則，設(shè)面的法向量為，即令，則，，，∴二面角正弦值為.20.設(shè)A，B分別是直線和上的動(dòng)點(diǎn)，且，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)G滿足．（1）求點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)曲線C的方程；（2）直線與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)k為何值，恒為定值，并求此時(shí)面積的最大值．【答案】（1）（2），1【解析】【分析】（1）設(shè)三點(diǎn)坐標(biāo)，利用平面向量的坐標(biāo)表示及向量模的坐標(biāo)表示即可求解曲線的方程；（2）設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)，，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用韋達(dá)定理得出，的表達(dá)式，求解的表達(dá)式，為定值即與參數(shù)無關(guān)，可求得的值，然后利用弦長(zhǎng)公式及點(diǎn)到直線的距離公式即可求解面積的最大值.【小問1詳解】解：設(shè)，，，則有，，， 整理可得.【小問2詳解】（2）設(shè)，，聯(lián)立，消元得，當(dāng)，即時(shí)，則，，則，當(dāng)為定值時(shí)，即與無關(guān)，故，得，此時(shí)，又點(diǎn)O到直線l的距離，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)成立，所以面積最大值為1．21.已知函數(shù).（1）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）求證：.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.(2)證明見解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）先證明 ，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明，即得證.【詳解】（1）∵函數(shù)，∴函數(shù)，（.由，解得，由，得.∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）證明：由（1）知，的最小值為，∴（且），即，∴，，…，，累加得：，即，∴，下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，不等式成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立，即，那么，當(dāng)時(shí)，.要證，只需證，也就是證，此時(shí)顯然成立. ∴，即，綜上，.∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查不等式的證明和數(shù)學(xué)歸納法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.（選修4-4極坐標(biāo)與參數(shù)方程）22.在平面直角坐標(biāo)系中，直線的普通方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(Ⅰ)求直線的參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程；(Ⅱ)設(shè)直線與曲線相交于兩點(diǎn)，求的值.【答案】(Ⅰ)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))極坐標(biāo)方程為()(Ⅱ)【解析】【分析】(Ⅰ)直線的普通方程為，可以確定直線過原點(diǎn)，且傾斜角為，這樣可以直接寫出參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程；(Ⅱ)利用，把曲線的參數(shù)方程化為普通方程，然后把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程中，化簡(jiǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系和參數(shù)的意義，可以求出的值.【詳解】解:(Ⅰ)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)) 極坐標(biāo)方程為()(Ⅱ)曲線的普通方程為將直線的參數(shù)方程代入曲線中，得，設(shè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別是，則，【點(diǎn)睛】本題考查了直線的參數(shù)方程化為普通方程和極坐標(biāo)方程問題，同時(shí)也考查了直線與圓的位置關(guān)系，以及直線參數(shù)方程的幾何意義.選修4-5：不等式選講23.已知函數(shù)，．（1）求不等式的解集；（2）若恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由題意零點(diǎn)分段求解不等式可得不等式的解集為．（2）令，由絕對(duì)值三角不等式和二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，取到最小值為，則的取值范圍是．【詳解】（1）由題意可知，，①當(dāng)時(shí)，原式可化為，即或，∴；②當(dāng)時(shí)，原式可化為，即或，∴無解；③當(dāng)時(shí)，原式可化為，即或，∴；綜上所述，．（2）由題意可知，，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立， 又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，令，當(dāng)時(shí)，取到最小值為，由題意可知，故．【點(diǎn)睛】絕對(duì)值不等式的解法：法一：利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；法二：利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；