概率論與數(shù)理統(tǒng)計筆記

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1、第一章概率論的基本概念隨機試驗：1.可以在相同的條件下重復進行2.每次試驗的可能結果不止一個，并且能事先明確試驗的所有可能結果3.進行一次試驗之前不能確定哪個結果會出現(xiàn)樣本空間：隨機試驗E的所有可能結果組成的集合稱為E的樣本空間，記為S隨機事件：試驗E的樣本空間S的子集，簡稱事件基本事件：由一個樣本點（E的每個結果）組成的單點集頻率：事件A發(fā)生次數(shù)和試驗次數(shù)的比值nA/n，記作fn(A)概率：對事件A賦予實數(shù)，P(A)非負性，規(guī)范性，可列可加性性質iP(?)=0.性質ii(有限可加性)若A1,A2,…,An是兩兩互不相容的事件，則有P(A1

2、?A2…?An)=PA1+PA2+…+P(An).性質iii設A,B是兩個事件，若A?B,則有P(B-A)=P(B)-P(A);P(B)≥P(A).性質iv對于任一事件A,P(A)≤1.性質v(逆事件的概率)對于任一事件A,有P(A)=1-P(A).性質vi(加法公式)對于任意兩事件A,B有P(A?B)=P(A)+P(B)-P(AB).古典概型：樣本空間只包含有限個元素，每個基本事件可能性相同A的對立事件A及其概率：也稱逆事件兩個互不相容事件的和事件的概率：兩事件不能同時發(fā)生，概率的有限可加性概率的加法定理：P(AB)=P(A)+P(B)-

3、P(AB)條件概率：在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的P(B

4、A)=P(AB)P(A).概率的乘法公式：P(ABC)=P(C

5、AB)P(B

6、A)P(A)全概率公式：PA=i=1nPABiP(Bi)Bi是試驗E的S的劃分，A為E的事件貝葉斯公式：PBiA=P(A

7、Bi)P(Bi)j=1nP(A

8、Bj)P(Bj),i=1,2,…,n.事件的獨立性：P(AB)=P(A)P(B)，互相獨立與互不相容不能同時成立設n個事件，如果對于其中任意2個，任意3個，…，任意n個事件的積事件的概率都等于各事件概率之積，則稱n個事件相互獨立實際推斷原理：概率很小的事

9、件在一次實驗中實際上幾乎是不發(fā)生的第二章隨機變量及其分布隨機變量：設E的樣本空間S={e}，X=X(e)是定義在樣本空間S上的單值函數(shù)，稱隨機變量分布函數(shù)：X是隨機變量，x是任意實數(shù)，F(xiàn)x=PX≤x,-∞

10、：f(x)性質：fx≥0;-∞∞fxdx=1伯努利試驗：試驗E只有兩個可能結果：A及A（0-1）分布：PX=k=pk(1-p)1-k,k=0,1(000,&otherwise

11、,記為X～η(θ)均勻分布：fx=1b-a,&a0）是常數(shù)，記作X～N（μ，σ2）標準正態(tài)分布：X～N(0,1)，概率密度為φ(x)，分布函數(shù)為Φ(x)引理：若X～N(μ，σ2)，則Z=X-μσ~N(0,1)隨機變量函數(shù)的分布：Y=g(X)，分布函數(shù)法（先求分布函數(shù)，再對分布函數(shù)求導）第三章多維隨機變量及其分布二維隨機變量（X，Y）：設X=X(e),Y=Y(e)是定義在樣本空間S上的隨機變量構成的向量（X，

12、Y）的分布函數(shù)：聯(lián)合分布函數(shù)：Fx,y=PX≤x∩Y≤y?P{X≤x,Y≤y}邊緣分布函數(shù)：FXx=PX≤x=PX≤x,Y<∞=F(x,∞),FYy=F(∞,y)離散型隨機變量（X，Y）的分布律：PX=xi,Y=yj=pij,i,j=1,2,…聯(lián)合分布律連續(xù)型隨機變量（X，Y）的概率密度：f(x,y)聯(lián)合概率密度1.fx,y≥02.-∞∞-∞∞f(x,y)dxdy=F∞,∞=13.設G是xOy平面上的區(qū)域，點(X,Y)落在G內的概率為Gf(x,y)dxdy.4.若f(x,y)在點(x,y)連續(xù)，則有?2yF(x,y)?x?y=f(x,y)離

13、散型隨機變量（X，Y）的邊緣分布律：PX=xi=i=0∞pij,i=1,2,…,Y一樣連續(xù)型隨機變量（X，Y）的邊緣概率密度：fXx=-∞∞f(x,y)dy,Y一樣條件分布函數(shù)：