概率論與數(shù)理統(tǒng)計筆記

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1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計讀書筆記第一章概率論的基本概念1隨機試驗1.對隨機現(xiàn)象的觀察、記錄、試驗統(tǒng)稱為隨機試驗.2.隨機試驗的所有結(jié)果構成的集合稱為的樣本空間，記為，稱中的元素為基本事件或樣本點.3.可以在相同的條件下進行相同的實驗；每次實驗的可能結(jié)果不止一個，并且能事先明確試驗的所有可能結(jié)果；進行一次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會實現(xiàn).2.樣本空間、隨機事件1.對于隨機試驗，盡管在每次試驗之前不能預知試驗結(jié)果，但試驗的所有可能結(jié)果組成的集合是已知的.我們將隨機試驗的所有可能結(jié)果組成的集合稱為的樣本空間，記為樣本空間的元素，即的每個結(jié)果稱為樣本點

2、.2.一般我們稱的子集為的隨機事件，當且僅當所包含的一個樣本點發(fā)生稱事件發(fā)生.如果將亦視作事件，則每次試驗總是發(fā)生，故又稱為必然事件。為方便起見，記為不可能事件，不包含任何樣本點.3.若，則稱事件包含事件，這指的是事件發(fā)生必導致事件的發(fā)生。若且，即，則稱事件與事件相等.20概率論與數(shù)理統(tǒng)計讀書筆記4.和事件5.當時，稱事件與不相容的，或互斥的.這指事件與事件不能同時發(fā)生.基本事件是兩兩互不相容的.6.7.事件A的對立事件：設A表示事件“A出現(xiàn)”,則“事件A不出現(xiàn)”稱為事件A的對立事件或逆事件.事件間的運算規(guī)律：3.頻率和概率1.記頻率反

3、映了事件發(fā)生的頻繁程度.2.頻率的性質(zhì)：20概率論與數(shù)理統(tǒng)計讀書筆記3.當重復試驗次數(shù)逐漸增大時，頻率呈現(xiàn)出穩(wěn)定性，逐漸穩(wěn)定于某個常數(shù).這種“頻率穩(wěn)定性”即通常所說的統(tǒng)計規(guī)律性.我們讓試驗重復大量次數(shù)，計算頻率以它來表征事件發(fā)生可能性的大小是合適的.隨的增大漸趨穩(wěn)定，記穩(wěn)定值為.的穩(wěn)定值定義為的概率，記為.4.概率定義：設是隨機試驗，是它的樣本空間.對于的每一個事件賦予一個實數(shù)，記為，稱為事件的概率.滿足下列條件:(1)非負性：對于每一個事件,有(2)規(guī)范性：對于必然事件,有(3)可列可加性：設是兩兩相互不相容的事件，即對于，，，則有；

4、5.概率定義推得的重要性質(zhì).（1）（2）有限可加性若是兩兩互不相容的事件則有（3）對于任一事件1（4）對于任一事件A有(5)20概率論與數(shù)理統(tǒng)計讀書筆記4．等可能概型（古典概型）1.當試驗的樣本空間只含有有限個元素，并且試驗中每個基本事件發(fā)生的可能性相同，具有這樣特點的試驗是大量存在的，則稱這種試驗為等可能概型.它在概率論發(fā)展初期曾是主要的研究對象，所以也稱為等可能概型.2.即是等可能概型中事件的概率的計算公式.5.條件概率1.條件概率定義：設是兩個事件,且，稱為在事件發(fā)生條件下事件發(fā)生的條件概率.2.符合條件概率的三個條件，即：（1）

5、非負性對于每一事件B,有（2）規(guī)范性對于必然事件S，有（3）可列可加性設是兩兩互不相容的事件，則有3.乘法定理：設，則有推廣:一般設為n個事件，，且有.20概率論與數(shù)理統(tǒng)計讀書筆記4.全概率公式：設試驗的樣本空間為，為的事件,為的一個劃分，且，則5.貝葉斯公式：設試驗的樣本空間為，為的事件,為的一個劃分，且，則6.獨立性1.定義：設是兩事件，如果滿足等式，則稱事件相互獨立，簡稱獨立.若,則相互獨立與互不相容不能同時成立.2.定理一：設是兩事件，且>0，若相互獨立，則=.反之亦然.3.定理二：若事件A與B相互獨立則與，與，與也相互獨立.4

6、.推廣定義：設是三個事件，如果滿足等式,，,則稱事件相互獨立.5.20概率論與數(shù)理統(tǒng)計讀書筆記第一章隨機變量及其分布1.隨機變量1.定義：設隨機試驗的樣本空間是定義在樣本空間上的實值單值函數(shù)，稱為隨機變量.常見的兩類隨機變量.2.本書中一般以大寫字母如表示隨機變量，而以小寫字母表示實數(shù).2.離散型隨機變量及其分布律1.定義：有些隨機變量，它全部可能取到的不相同的值是有限個或可列無限多個，這種隨機變量稱為離散型隨機變量.2.定義：取值可數(shù)的隨機變量為離散量.稱為離散型隨機變量X的分布律。滿足如下兩個條件：（1）　?。?）3.（0－1）分布

7、設隨機變量X只可能取0與1兩個值,它的分布律是，則稱X服從（0－1）分布或兩點分布.20概率論與數(shù)理統(tǒng)計讀書筆記（0－1）分布的分布律也可寫成4.設試驗只有兩個可能結(jié)果：及,則稱為伯努利試驗．設，此時,將獨立重復地進行n次，則稱這一串重復的獨立試驗為n重伯努利試驗.剛好是二項式的展開式中出現(xiàn)的那一項，故稱隨機變量服從參數(shù)的二項分布，記為.特別，當時二項分布化為，這就是（0-1）分布.5.泊松分布設隨機變量X所有可能取值為0,1,2…..而取各個值的概率為.3.隨機變量的分布函數(shù)1.分布函數(shù)的定義設是一個連續(xù)隨機變量，稱為的分布函數(shù).是隨

8、機變量,是自變量.由定義，對任意實數(shù)，隨機點落在區(qū)間的概率為：.2.分布函數(shù)性質(zhì)20概率論與數(shù)理統(tǒng)計讀書筆記即任一分布函數(shù)處處右連續(xù).3.公式4.連續(xù)型隨機變量及其概率密度1.如果對于隨機變量的分布函數(shù)，存