《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》筆記

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1、《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》筆記一、課程導(dǎo)讀“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”是研究隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性的一門學(xué)科在自然界，在人們的實(shí)踐活動(dòng)中，所遇到的現(xiàn)象一般可以分為兩類：確定性現(xiàn)象???????????隨機(jī)現(xiàn)象????????確定性現(xiàn)象??在一定的條件下，必然會(huì)出現(xiàn)某種確定的結(jié)果．例如，向上拋一枚硬幣，由于受到地心引力的作用，硬幣上升到某一高度后必定會(huì)下落．我們把這類現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象（或必然現(xiàn)象）．同樣，任何物體沒(méi)有受到外力作用時(shí)，必定保持其原有的靜止或等速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；導(dǎo)線通電后，必定會(huì)發(fā)熱；等等也都是確定性現(xiàn)象．????????隨機(jī)現(xiàn)象??在一定的條件下，可能會(huì)出現(xiàn)各種不同的結(jié)果，也就是說(shuō)，在完全相同

2、的條件下，進(jìn)行一系列觀測(cè)或?qū)嶒?yàn)，卻未必出現(xiàn)相同的結(jié)果．例如，拋擲一枚硬幣，當(dāng)硬幣落在地面上時(shí)，可能是正面（有國(guó)徽的一面）朝上，也可能是反面朝上，在硬幣落地前我們不能預(yù)知究竟哪一面朝上．我們把這類現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象（或偶然現(xiàn)象）．同樣，自動(dòng)機(jī)床加工制造一個(gè)零件，可能是合格品，也可能是不合格品；射擊運(yùn)第14頁(yè)**共14頁(yè)動(dòng)員一次射擊，可能擊中10環(huán)，也可能擊中9環(huán)8環(huán)……甚至脫靶；等等也都是隨機(jī)現(xiàn)象．????????統(tǒng)計(jì)規(guī)律性對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象，從表面上看，由于人們事先不能知道會(huì)出現(xiàn)哪一種結(jié)果，似乎是不可捉摸的；其實(shí)不然．人們通過(guò)實(shí)踐觀察到并且證明了，在相同的條件下，對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行大量的重復(fù)試驗(yàn)

3、（觀測(cè)），其結(jié)果總能呈現(xiàn)出某種規(guī)律性．例如，多次重復(fù)拋一枚硬幣，正面朝上和反面朝上的次數(shù)幾乎相等；對(duì)某個(gè)靶進(jìn)行多次射擊，雖然各次彈著點(diǎn)不完全相同，但這些點(diǎn)卻按一定的規(guī)律分布；等等．我們把隨機(jī)現(xiàn)象的這種規(guī)律性稱為統(tǒng)計(jì)規(guī)律性．l??????應(yīng)用例子???????摸球游戲中誰(shuí)是真正的贏家在街頭巷尾常見(jiàn)一類“摸球游戲”．游戲是這樣的：一袋中裝有16個(gè)大小、形狀相同，光滑程度一致的玻璃球．其中8個(gè)紅色、8個(gè)白色．游戲者從中一次摸出8個(gè)，8個(gè)球中．當(dāng)紅白兩種顏色出現(xiàn)以下比數(shù)時(shí)．摸球者可得到相應(yīng)的“獎(jiǎng)勵(lì)”或“處罰”：?結(jié)果（比數(shù)）A(8:0)B(7:1)C(6:2)D(5:3)E(4:4)獎(jiǎng)金（

4、元）1010.50.2-2注：表中“-2”表示受罰2元第14頁(yè)**共14頁(yè)解：此游戲（實(shí)為賭博），從表面上看非常有吸引力，5種可能出現(xiàn)的結(jié)果．有4種可得獎(jiǎng)．且最高獎(jiǎng)達(dá)10元．而只有一種情況受罰．罰金只是2元．因此就吸引了許多人特別是好奇的青少年參加．結(jié)果卻是受罰的多，何以如此呢？其實(shí)．這就是概率知識(shí)的具體應(yīng)用：現(xiàn)在是從16個(gè)球中任取8個(gè)．所有可能的取法為種．即基本事件總數(shù)有限．又因?yàn)槭侨我獬槿。ＷC了等可能性．是典型的古典概型問(wèn)題．由古典概率計(jì)算公式．很容易得到上述5種結(jié)果．其對(duì)應(yīng)的概率分別是：假設(shè)進(jìn)行了1000次摸球試驗(yàn)，5種情況平均出現(xiàn)的次數(shù)分別為：0、10、122、487、3

5、81次，經(jīng)營(yíng)游戲者預(yù)期可得2×381-(10×0＋1×10＋0.5×122＋0.2×487)=593.6（元）．這個(gè)例子的結(jié)論可能會(huì)使我們大吃一驚，然而正是在這一驚之中．獲得了對(duì)古典概率更具體、更生動(dòng)的知識(shí).???????戲院設(shè)座問(wèn)題第14頁(yè)**共14頁(yè)乙兩戲院在競(jìng)爭(zhēng)500名觀眾，假設(shè)每個(gè)觀眾完全隨意地選擇一個(gè)戲院，且觀眾之間選擇戲院是彼此獨(dú)立的，問(wèn)每個(gè)戲院至少應(yīng)該設(shè)多少個(gè)座位才能保證觀眾因缺少座位而離開的概率小于5%??解由于兩個(gè)戲院的情況相同，故只需考慮甲戲院即可。設(shè)甲戲院需設(shè)m個(gè)座位，定義?，i=1,2,…,500?依題意，若用x表示選擇甲戲院的觀眾總數(shù)，則，問(wèn)題化為求m使因

6、為E(xi)=D(xi)=0.5,由中心極限定理近似地故，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表知，從而解得，即每個(gè)戲院至少應(yīng)該設(shè)多少269個(gè)座位。各章的重點(diǎn)難點(diǎn)第一章事件與概率第14頁(yè)**共14頁(yè)l??????????古典概率l??????????全概率公式與貝葉斯公式(*)l??????????獨(dú)立試驗(yàn)序列第二章離散型隨機(jī)變量l??????????離散隨機(jī)變量的概率分布l??????????分布函數(shù)l??????????常用分布：超幾何分布H(n,M,N)、二項(xiàng)分布B(n,p)、泊松分布P(λ)l??????????隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差的概念及性質(zhì)第三章連續(xù)型隨機(jī)變量l??????????連續(xù)隨

7、機(jī)變量的概率密度、均勻分布U[a,b]、指數(shù)分布e(λ)、正態(tài)分布N(μ,σ2)l??????????分布函數(shù)l??????????二維隨機(jī)變量的分布（聯(lián)合分布）l??????????邊際分布l??????????隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望l??????????常用分布的數(shù)學(xué)期望與方差l??????????相關(guān)矩與相關(guān)系數(shù)l??????????隨機(jī)變量的和的分布l??????????切比雪夫不等式第14頁(yè)**共14頁(yè)第四章大數(shù)定律與中心極限定理l??????????大數(shù)定