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《初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽重要定理整集》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、射影定理一、射影定理直角三角形射影定理（又叫歐幾里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。公式Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜邊BC上的高,則有射影定理如下:(1)(AD)^2;=BD·DC,(2)(AB)^2;=BD·BC,(3)(AC)^2;=CD·BC。等積式(4)ABXAC=BCXAD(可用面積來證明)目錄直角三角形射影定理的證明任意三角形射影定理 射影 所謂射影，就是正投影。直角三角形射影定理（又叫歐幾里德(Euclid)定理）：直角
2、三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。初中射影定理的內(nèi)容:射影定理的內(nèi)容是在直角三角形中，每條直角邊是這條直角邊在斜邊的射影和斜邊的比例中項(xiàng)，斜邊上的高線是兩條直角邊在斜邊射影的比例中項(xiàng)公式如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊BC上的高，則有射影定理如下：（1）（AD）²=BD·DC，（2）（AB）²=BD·BC，（3）（AC）²=CD·BC。等積式（４）ABXAC=BCXAD(可用“面積法”來證明）直角三角形射影定理的證明 證明： ?
3、?射影定理簡(jiǎn)圖(幾何畫板)一、 在△BAD與△BCD中，∠A+∠C=90°，∠DBC+∠C=90°，∴∠A=∠DBC， 又∵∠BDA=∠BDC=90°， ∴△BAD∽△CBD， ∴AD/BD＝BD/CD，即BD^2;=AD·DC。其余類似可證。(也可以用勾股定理證明) 注：由上述射影定理還可以證明勾股定理?！ ∮猩溆岸ɡ砣缦拢骸 B^2;=AD`AC，BC^2;=CD·CA?！ 墒较嗉拥茫骸 B^2;+BC^2;=AD·AC+CD·AC=（AD+CD)·AC=AC^2;, 即AB^2;+BC^2;=AC^2;（勾股定理結(jié)論）。 二、
4、 已知:三角形中角A=90度,AD是高. 用勾股證射影 :因?yàn)锳D^2=AB^2-BD^2=AC^2-CD^2, 所以2AD^2=AB^2+AC^2-BD^2-CD^2=BC^2-BD^2-CD^2=(BD+CD)^2-(BD^2+CD^2)=2BD*CD. 故AD^2=BD*CD. 運(yùn)用此結(jié)論可得:AB^2=BD^2+AD^2=BD^2+BD*CD=BD*(BD+CD)=BD*BC,AC^2=CD^2+AD^2=CD^2+BD*CD=CD(BD+CD)=CD*CB. 綜上所述得到射影定理。同樣也可以利用三角形面積知識(shí)進(jìn)行證明。任意三角形射影
5、定理 任意三角形射影定理又稱“第一余弦定理”： △ABC的三邊是a、b、c，它們所對(duì)的角分別是A、B、C，則有 a＝b·cosC＋c·cosB， b＝c·cosA＋a·cosC， c＝a·cosB＋b·cosA?！ ∽ⅲ阂浴癮＝b·cosC＋c·cosB”為例，b、c在a上的射影分別為b·cosC、c·cosB，故名射影定理?！ ∽C明1：設(shè)點(diǎn)A在直線BC上的射影為點(diǎn)D，則AB、AC在直線BC上的射影分別為BD、CD，且 BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC＋c·cosB.同理可證其余?！ ????證明2：由正
6、弦定理，可得：b=asinB/sinA，c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA=acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB＋b·cosA.同理可證其它的。二、直角三角形射影定理（又叫歐幾里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。公式如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊BC上的高，則有射影定理如下：1.（AD）^2=BD·DC，2.（AB）^2=BD·BC，3.
7、（AC）^2=CD·BC。這主要是由相似三角形來推出的，例如，“（AD）^2=BD·DC：”的證明如下：在△BAD與△ACD中，∠B=∠DAC，∠BDA=∠ADC=90°，△BAD∽△ACD相似，所以AD/BD＝CD/AD，所以（AD）^2=BD·DC。注：由上述射影定理還可以證明勾股定理。由公式（2）+（3）得（AB）^2+（AC）^2=（BC）^2，這就是勾股定理的結(jié)論。直角三角形射影定理（又叫歐幾里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。公式Rt△A
8、BC中,∠BAC=90°,AD是斜邊BC上的高,則有射影定理如下:(1)(AD)
