初中數(shù)學(xué)競賽定理.doc

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1、正弦定理定理概述　　在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等。　　即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R在同一個(gè)三角形中是恒量，是此三角形外接圓的直徑）　　這一定理對(duì)于任意三角形ABC，都有　　a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R　　R為三角形外接圓半徑證明　　步驟1.　　在銳角△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點(diǎn)H　　CH=a·sinB　　CH=b·sinA　　∴a·sinB=b·sinA　　得到　　a/sinA=b/sinB　　同理，在△ABC中，　　b/sinB=c/sinC　　步

2、驟2.　　證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：　　如圖，任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.　　作直徑BD交⊙O于D.　　連接DA.　　因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角是直角,所以∠DAB=90度　　因?yàn)橥∷鶎?duì)的圓周角相等,所以∠D等于∠C.　　所以c/sinC＝c/sinD=BD=2R　　類似可證其余兩個(gè)等式。意義　　正弦定理指出了任意三角形中三條邊與對(duì)應(yīng)角的正弦值之間的一個(gè)關(guān)系式。擴(kuò)展三角形面積公式　　1.海倫公式:　　設(shè)P=(a+b+c)/2　　S△=根號(hào)下P(P-a)(P-b)(P-c)　　解釋:假設(shè)有一個(gè)三角形，邊長分別為a、

3、b、c，三角形的面積S可由以下公式求得：　　S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]　　而公式里的p為半周長：　　p=(a+b+c)/2　　2.S△ABC=(ab/2)·sinC=(bc/2)·sinA=(ac/2)·sinB=abc/(4R)[R為外接圓半徑]　　3.S△ABC=ah/2正弦定理的變形公式　　(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;　　(2)sinA:sinB:sinC=a:b:c;　　（條件同上）　　在一個(gè)三角形中，各邊與其所對(duì)角的正弦的比相等，且該比值都等于該三角形外接圓的直徑已知三角形是確定的，利用

4、正弦定理解三角形時(shí)，其解是唯一的；已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角，由于該三角形具有不穩(wěn)定性，所以其解不確定，可結(jié)合平面幾何作圖的方法及“大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊”定理和三角形內(nèi)角和定理去考慮解決問題　　(3)相關(guān)結(jié)論:　　a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)　　c/sinC＝c/sinD=BD=2R　?、仍O(shè)R為三角外接圓半徑，公式可擴(kuò)展為：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即當(dāng)一內(nèi)角為90°時(shí)，所對(duì)的邊為外接圓的直徑。靈活運(yùn)用正弦定理，還需要

5、知道它的幾個(gè)變形　　sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R　　asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA余弦定理　　余弦定理是揭示三角形邊角關(guān)系的重要定理，直接運(yùn)用它可解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個(gè)邊求角的問題，若對(duì)余弦定理加以變形并適當(dāng)移于其它知識(shí)，則使用起來更為方便、靈活。余弦定理性質(zhì)　　對(duì)于任意三角形，任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與他們夾角的余弦的兩倍積，若三邊為a,b,c三角為A,B,C，則滿足性質(zhì)——　　(注：a*b、a*c就是a乘b、a乘c。a^2、

6、b^2、c^2就是a的平方，b的平方，c的平方。)　　a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA　　b^2=a^2+c^2-2*a*c*CosB　　c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC　　CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab　　CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac　　CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc余弦定理證明　　平面幾何證法：　　在任意△ABC中　　做AD⊥BC.　　∠C所對(duì)的邊為c，∠B所對(duì)的邊為b，∠A所對(duì)的邊為a　　則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c　　根

7、據(jù)勾股定理可得：　　AC^2=AD^2+DC^2　　b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2　　b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB　　b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2　　b^2=c^2+a^2-2ac*cosB　　cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac余弦定理的作用　　(1)已知三角形的三條邊長，可求出三個(gè)內(nèi)角；　　(2)已知三角形的兩邊及夾角，可求出第三邊.　　例如：已知△ABC的三邊之比為：2：1，求最大的內(nèi)角.　　解設(shè)三角形的三邊為a,b

8、,c且a:b:c=:2:1.　　由三角形中大邊對(duì)大角可知：∠A為最大的角.由余弦定理　　cosA==-　　所以∠A=120°.　　再如△ABC中，AB