相似與動點問題專題

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1、所謂“動點型問題”是指題設(shè)圖形中存在一個或多個動點,它們在線段、射線或弧線上運(yùn)動的一類開放性題目.解決這類問題的關(guān)鍵是動中求靜,靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識解決問題.關(guān)鍵:動中求靜.數(shù)學(xué)思想：分類思想函數(shù)思想方程思想數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化思想注重對幾何圖形運(yùn)動變化能力的考查從變換的角度和運(yùn)動變化來研究三角形、四邊形、函數(shù)圖像等圖形，通過“對稱、動點的運(yùn)動”等研究手段和方法，來探索與發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)及圖形變化，在解題過程中滲透空間觀念和合情推理。選擇基本的幾何圖形，讓學(xué)生經(jīng)歷探索的過程，以能力立意，考查學(xué)生的自主探究能力，促進(jìn)培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力．圖形在動點的運(yùn)動過程中觀察圖形的變化情況

2、，需要理解圖形在不同位置的情況，才能做好計算推理的過程。在變化中找到不變的性質(zhì)是解決數(shù)學(xué)“動點”探究題的基本思路,這也是動態(tài)幾何數(shù)學(xué)問題中最核心的數(shù)學(xué)本質(zhì)。動態(tài)幾何中的相似三角形例1、如圖，在梯形中，，，，，梯形的高為．動點從點出發(fā)沿線段以每秒2個單位長度的速度向終點運(yùn)動；動點同時從點出發(fā)沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動的時間為（秒）．（1）當(dāng)時，求的值；（2）試探究：為何值時，為直角三角形．變式練習(xí)1：如圖所示，在ΔABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，點P從A點出發(fā)，沿著AB以每秒4cm的速度向B點運(yùn)動；同時點Q從C點出發(fā)，沿CA以每秒3c

3、m的速度向A點運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為x。（1）當(dāng)x為何值時，PQ∥BC？（2）當(dāng)，求的值；（3）ΔAPQ能否與ΔCQB相似？若能，求出AP的長；若不能，請說明理由。OPAQByx變式練習(xí)2：如圖，已知直線的函數(shù)表達(dá)式為，且與軸，軸分別交于兩點，動點從點開始在線段上以每秒2個單位長度的速度向點移動，同時動點從點開始在線段上以每秒1個單位長度的速度向點移動，設(shè)點移動的時間為秒．（1）求出點的坐標(biāo)；（2）當(dāng)為何值時，與相似？（3）求出（2）中當(dāng)與相似時，線段所在直線的函數(shù)表達(dá)式．變式練習(xí)1：已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90o，∠A＝30o，點P在AC上，且∠MPN＝90當(dāng)點P

4、為線段AC的中點，點M、N分別在線段AB、BC上時（如圖1），過點P作PE⊥AB于點E，PF⊥BC于點F，可證t△PME∽t△PNF，得出PN＝PM．（不需證明）當(dāng)PC＝PA，點M、N分別在線段AB、BC或其延長線上，如圖2、圖3這兩種情況時，請寫出線段PN、PM之間的數(shù)量關(guān)系，并任選取一給予證明．變式練習(xí)2（備用）：如圖1，在同一平面內(nèi),將兩個全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點，∠BAC=∠AGF=90°，它們的斜邊長為2，若?ABC固定不動，?AFG繞點A旋轉(zhuǎn)，AF、AG與邊BC的交點分別為D、E(點D不與點B重合,點E不與點C重合),設(shè)BE

5、=m，CD=n.（1）請在圖中找出兩對相似而不全等的三角形，并選取其中一對進(jìn)行證明.（2）求m與n的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自變量n的取值范圍.（3）以?ABC的斜邊BC所在的直線為x軸，BC邊上的高所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系(如圖12).在邊BC上找一點D，使BD=CE，求出D點的坐標(biāo)，并通過計算驗證BD＋CE=DE.Gyx圖2OFEDCBAG圖1FEDCBA（4）在旋轉(zhuǎn)過程中,(3)中的等量關(guān)系BD＋CE=DE是否始終成立,若成立,請證明,若不成立,請說明理由.例3、如圖１，中，，cm，矩形的長和寬分別為8cm和2cm，點和點重合，和在一條直線上．令不動，矩形

6、沿所在直線向右以每秒1cm的速度移動（如圖２），直到點與點重合為止．設(shè)移動秒后，矩形與重疊部分的面積為．求與之間的函數(shù)關(guān)系式．ABDPNC(M)２２圖２圖１變式練習(xí)1：如圖，在等腰梯形中，，，，．等腰直角三角形的斜邊，點與點重合，和在一條直線上，設(shè)等腰梯形不動，等腰直角三角形沿所在直線以的速度向右移動，直到點與點重合為止．（1）等腰直角三角形在整個移動過程中與等腰梯形重疊部分的形狀由形變化為形；（2）設(shè)當(dāng)?shù)妊苯侨切我苿訒r，等腰直角三角形與等腰梯形重疊部分的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)時，求等腰直角三角形與等腰梯形重疊部分的面積．A（N）MPDCBANMPD

7、CB變式練習(xí)1：如圖，在梯形ABCD中，，，，，點由B出發(fā)沿BD方向勻速運(yùn)動，速度為1cm/s；同時，線段EF由DC出發(fā)沿DA方向勻速運(yùn)動，速度為1cm/s，交于Q，連接PE．若設(shè)運(yùn)動時間為（s）（）．解答下列問題：AEDQPBFC（1）當(dāng)為何值時，？（2）設(shè)的面積為（cm2），求與之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）是否存在某一時刻，使？變式練習(xí)2：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．點P從點C出發(fā)沿CA以每秒1個單位長的速度向點A勻速運(yùn)動，到達(dá)點A后立刻以原來的速度沿AC返回；點Q從點A出發(fā)沿AB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運(yùn)