數(shù)學(xué)證明思維模型的建構(gòu)與應(yīng)用

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1、數(shù)學(xué)證明思維模型的建構(gòu)與應(yīng)用數(shù)學(xué)證明思維模型的建立，表明了數(shù)學(xué)證明思維活動(dòng)的實(shí)質(zhì)性內(nèi)涵與組成環(huán)節(jié)，從而為數(shù)學(xué)證明的教學(xué)設(shè)計(jì)提供了一套可以參考的程序，增加教學(xué)的有效性。利用數(shù)學(xué)證明的教育資源可以培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用證據(jù)說話的能力，這是生活在民主社會(huì)中的人必備的素質(zhì);可以促進(jìn)學(xué)生將適應(yīng)生存的“短時(shí)間的思考”轉(zhuǎn)化為實(shí)現(xiàn)自我、實(shí)現(xiàn)目的所需要思維基礎(chǔ)“長(zhǎng)時(shí)間的思考”的能力，為發(fā)揮學(xué)生的智力潛能提供了現(xiàn)實(shí)性。數(shù)學(xué)證明模型數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)長(zhǎng)時(shí)間的思考一、數(shù)學(xué)證明的內(nèi)涵與方式關(guān)于“證明”的釋義，《現(xiàn)代漢語詞典》將其界定為“用可靠的材料來表明或斷定人或事的真實(shí)性”。由此，我們可以將數(shù)學(xué)證明刻畫為：從真理性的數(shù)學(xué)知識(shí)

2、出發(fā)、運(yùn)用演繹推理的形式說服別人接受從命題的題設(shè)條件過渡到題斷結(jié)論的真實(shí)性的一種信念。演繹推理的形式只有在數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)，才被認(rèn)為是唯一有效的證明方式;其他情況下，證明過程大部分是以個(gè)人經(jīng)驗(yàn)和接受權(quán)威的證實(shí)為基礎(chǔ)的。數(shù)學(xué)證明過程，是經(jīng)過主體的思維活動(dòng)，選擇合適的真理性的數(shù)學(xué)知識(shí)，把作為外在信息的題設(shè)條件中的雜亂無章的元素，通過演繹推理，組織成為具有因果關(guān)系序列結(jié)構(gòu)的題斷結(jié)論要求的過程。外在于主體的客體信息，是由人類心理已經(jīng)具有的觀念（源于真理性的知識(shí)或曾經(jīng)經(jīng)歷過的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等，提供給主體處理面臨新信息時(shí)的活動(dòng)意向或指令）而賦予了外在信息以知識(shí)結(jié)構(gòu)的意義，否則，客體就是無意義的“物自體”[1]

3、。而這種賦予外在信息以意義的過程就是一系列的合情推理的心理活動(dòng)過程，將這些合情推理的真實(shí)性結(jié)論轉(zhuǎn)化為條分縷析的演繹推理及其表達(dá)的過程就構(gòu)成了數(shù)學(xué)證明。二、數(shù)學(xué)證明思維模型建構(gòu)在發(fā)生數(shù)學(xué)證明的思維活動(dòng)中，發(fā)現(xiàn)證明思路的信息元素序列結(jié)構(gòu)的本質(zhì)，勢(shì)必通過設(shè)法使題設(shè)條件元素組成正確率比較高的信息脈絡(luò)輪廓（與知識(shí)框架相比較）一一元素序列結(jié)構(gòu)的雛形，借此信息脈絡(luò)輪廓的中介才能選擇出成功性比較高的數(shù)學(xué)知識(shí)（定義、公理或定理）組織信息，從而決定選擇與利用數(shù)學(xué)知識(shí)作為封裝信息的結(jié)構(gòu)框架（其實(shí)是知識(shí)結(jié)構(gòu)框架與信息輪廓的互相吸引與適應(yīng)的過程），生成有價(jià)值的信息結(jié)構(gòu)（類似于主體所選用的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)）。本研宄試

4、圖建立證明的思維模式，這一過程可以概略地?cái)⑹鰹椋菏紫龋黧w從題設(shè)條件信息元素中選擇并確定出“支點(diǎn)信息”，選擇“支點(diǎn)信息”的心理活動(dòng)又是由外在信息與已經(jīng)內(nèi)化并保存在意識(shí)中的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)之間的互相吸引、相互誘導(dǎo)、相互調(diào)整而獲得的;其次，基于“支點(diǎn)信息”，并在“支點(diǎn)信息”這一“凝聚核”的作用下，使外在諸多的外圍信息元素組織成一種脈絡(luò)輪廓;最后，由這種信息輪廓提示主體選擇數(shù)學(xué)知識(shí)框架來封裝題設(shè)條件的信息元素，獲得某種結(jié)構(gòu)，從而賦予題設(shè)條件信息以某種知識(shí)結(jié)構(gòu)的意義（如圖1所示［2］）。從這一模型中可以看出，在分析題設(shè)條件信息元素伊始，主體不可能迅速確定地把握信息元素所能組成具有結(jié)論意義上的結(jié)構(gòu)，

5、就勢(shì)必動(dòng)用自己的知識(shí)庫中的知識(shí)框架猜想信息元素可能具有某種結(jié)構(gòu)。依據(jù)信息的某個(gè)側(cè)面（“支點(diǎn)信息”）賦予“支點(diǎn)信息”決定的知識(shí)結(jié)構(gòu)，再將信息元素組織成具有知識(shí)結(jié)構(gòu)的意義，如果不成功，就會(huì)更換“支點(diǎn)信息”，再做一輪循環(huán)。在這一系列思維活動(dòng)環(huán)節(jié)中，一定離不開猜想（即合情推理）的作用。因此，證明的思維活動(dòng)過程環(huán)節(jié)就是不斷地生成猜想（合情推理）與檢驗(yàn)猜想、證實(shí)或證否猜想，證實(shí)了就可以轉(zhuǎn)化為演繹推理，形成證明過程，證否就要更換“支點(diǎn)信息”，再生信息輪廓的又一輪循環(huán)。三、例示數(shù)學(xué)證明思維模式在教學(xué)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用教師產(chǎn)生合適的教學(xué)行為，并非完全從現(xiàn)代教育理念中演繹來的，而是重在觀照現(xiàn)代教育理論，分析具體

6、的知識(shí)性質(zhì)特點(diǎn)，分析學(xué)生發(fā)生具體知識(shí)的心理活動(dòng)的特點(diǎn)中獲得的;從反思與分析自己的課堂教學(xué)行為的實(shí)踐中獲得的［3］。證明模式的建立為數(shù)學(xué)證明教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)教師優(yōu)化分析活動(dòng)的教學(xué)行為提供了方向。數(shù)學(xué)教學(xué)行為構(gòu)成要素的基礎(chǔ)主要體現(xiàn)在互相關(guān)聯(lián)的三個(gè)側(cè)面：對(duì)要傳授的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)所呈現(xiàn)的環(huán)節(jié)及其連接中介組成序列的理解（“教材分析”），對(duì)學(xué)生萌發(fā)數(shù)學(xué)知識(shí)（環(huán)節(jié)及其連接中介）的心理環(huán)節(jié)（呈現(xiàn)的是觀念形態(tài)）及其過渡性中介的把握（“學(xué)情分析”），通過創(chuàng)造性工作找到這二者之間的聯(lián)系（“關(guān)聯(lián)分析”）。由此設(shè)計(jì)出合適的教學(xué)過程，使知識(shí)的環(huán)節(jié)及其連接中介適應(yīng)于學(xué)生發(fā)生知識(shí)的心理活動(dòng)環(huán)節(jié)（觀念形態(tài)）及其過渡性中介的

7、辨證運(yùn)動(dòng)過程。下面的框架圖（圖2［4］）是數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的一般分析模型。圖2數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)框架圖要發(fā)揮證明的思維模型的教育價(jià)值，就要教師在第三項(xiàng)“關(guān)聯(lián)分析”上做足功夫，而“關(guān)聯(lián)分析”效果如何取決于“學(xué)情分析”與“教材分析”的效果，因此，“三項(xiàng)分析”構(gòu)成了證明教學(xué)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)證明思維活動(dòng)的“關(guān)聯(lián)分析”過程主要在于認(rèn)真研宄學(xué)生選擇“支點(diǎn)信息”，確定知識(shí)框架，由知識(shí)框架把外圍信息組織成有序的邏輯環(huán)節(jié)序列，從而，貫通從題設(shè)條件到題斷結(jié)論的過程。學(xué)生正是