積分號(hào)外求極限

《積分號(hào)外求極限》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

1、安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院2012屆畢業(yè)論文積分號(hào)外求極限問題探討摘要對(duì)于含有積分式的函數(shù),特別是積分麻煩或原函數(shù)求不出來的函數(shù),用通常的方法不易求出其極限,文章介紹了求含有積分式函數(shù)極限的方法,即利用積分中值定理、Riemam引理和含參積分的連續(xù)性定理以及上下極限、夾逼準(zhǔn)則和洛必達(dá)法則來求解,還運(yùn)用到了擬合法、隔離法等等.掌握相關(guān)的定義及性質(zhì),并能運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆椒ň湍芎茌p松的解決積分的極限問題.關(guān)鍵詞積分與極限交換次序極限一致收斂1引言在數(shù)學(xué)分析中,極限的概念占有突出的地位,計(jì)算函數(shù)的極限也成為教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn).通常人們利用

2、極限的分析定義、“兩邊夾”定理、無窮小量替換、初等函數(shù)的連續(xù)性、極限的四則運(yùn)算性質(zhì)等方法求函數(shù)的極限,但這些方法都是針對(duì)一般函數(shù)的,對(duì)于含有積分式的函數(shù),特別是對(duì)積分麻煩或原函數(shù)求不出來的函數(shù),這些方法就不適用了,還可以探討積分號(hào)與極限號(hào)交換的條件及其運(yùn)用.2一些相關(guān)概念定義1設(shè)｛｝為數(shù)列,為定數(shù).若對(duì)任給的正數(shù),總存在正整數(shù),使得當(dāng)時(shí)有則稱數(shù)列｛｝收斂于,定數(shù)稱為數(shù)列｛｝的極限,并記作,或,讀作“當(dāng)趨于無限大時(shí),｛｝的極限等于或趨于”.若數(shù)列｛｝沒有極限,則稱｛｝不收斂,或稱｛｝為發(fā)散數(shù)列.定義2（定積分）設(shè)閉區(qū)間上有個(gè)點(diǎn),

3、依次為它們把分成個(gè)小區(qū)間,……,.這些分點(diǎn)或這些閉子區(qū)間構(gòu)成對(duì)的一個(gè)分割,記為或.小區(qū)間的長(zhǎng)度為,并記,稱為分割的模.設(shè)函數(shù)在上有定義,為某一實(shí)數(shù).若,對(duì)的任意分割,只要有,則稱在上的定積分或黎曼積分.記為.第12頁共12頁安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院2012屆畢業(yè)論文定義3（含參量積分）(1)定義：為定義在矩形區(qū)域上的二元函數(shù),對(duì)于上每一個(gè)固定的值,作為的函數(shù)在上可積,則其積分值上取值的函數(shù),稱為定義在上參含量的（正常）積分,簡(jiǎn)稱含參量積分.它的更一般的情形是上、下限也是的函數(shù)：,其中為定義在上的函數(shù).⑵性質(zhì)（i）連續(xù)性（

4、也稱連續(xù)守恒定理）：若在上連續(xù),則在上連續(xù)；若在上連續(xù),且上連續(xù),則在上連續(xù).(ii)可微性：若與在上連續(xù),則在上可微,且;若及在上連續(xù),且為定義在上其值含于內(nèi)的可微函數(shù),則在上可微,且(iii)可積性：若在上連續(xù),則在上可積,且.(iv)積分號(hào)下取極限：若每個(gè)在上連續(xù),且時(shí),,則在上連續(xù),且.(v)若在上連續(xù),則.定義4（反常積分）積分區(qū)間無限或被積函數(shù)無界的積分稱為反常積分.反常積分也成為廣義積分或奇異積分.第12頁共12頁安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院2012屆畢業(yè)論文積分區(qū)間無限的反常積分——無窮積分①在上有定義,且對(duì)

5、,均有若極限存在,則稱在上的反常積分收斂（或存在）,且記其極限值為此時(shí)也稱在上是可積的.若原式中的極限不存在（包括極限為無窮的情形）,則稱在上的（反常）積分發(fā)散,也即發(fā)散.類似的可定義的發(fā)散.②設(shè)是定義在上的函數(shù),對(duì)有,若存在極限,其中為某個(gè)實(shí)數(shù),則稱在上的（反常）積分存在或收斂,且記極限值為,若式中的極限有一個(gè)不存在（包括極限為無窮的情形）,則稱在上的（反常）積分發(fā)散.注斂散性極其數(shù)值與式中所取的點(diǎn)無關(guān).⑵無界函數(shù)的積分——瑕積分約定在點(diǎn),若對(duì)有定義且是無界的,則稱為的瑕點(diǎn),也稱在處無窮間斷.①設(shè)在上有定義,且對(duì)在點(diǎn)為的瑕點(diǎn)

6、,若極限存在,則稱在上（關(guān)于）的瑕積分收斂或存在,其極限值為此瑕積分的值,并記為；否則稱反常積分發(fā)散或不存在.類似地可定義瑕點(diǎn)為時(shí)的瑕積分.②設(shè),且積分均為瑕積分,其中為的瑕點(diǎn)；或?yàn)榈蔫c(diǎn).若式中兩個(gè)積分均收斂,則稱在上的瑕積分收斂或存在,且記；若式中的積分至少有一個(gè)是發(fā)散的,則稱在上的瑕積分發(fā)散.注當(dāng)為瑕點(diǎn)時(shí),判定的斂散性,需要計(jì)算的是兩個(gè)極限式的和第12頁共12頁安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院2012屆畢業(yè)論文,而不是3求積分極限的方法3.1利用引理求含積分式函數(shù)的極限分式的下極限是,如果積分式下極限形式（或變化后的形式）

7、為,我們可以考慮利用引理來求解.定理1設(shè)在上可積,則.例1求解由于所以3.2由含參量積分的連續(xù)性定理求含積分式函數(shù)的極限在求積分式下的極限時(shí),若被積函數(shù)是二元函數(shù),我們可以考慮利用含參量積分的連續(xù)性定理來求解.定理2設(shè)在區(qū)域上連續(xù),則函數(shù)在區(qū)間上連續(xù).設(shè),有例2求.解令則定理2中,如果把中的連續(xù)變量改為正整數(shù)變量,即考慮對(duì)每個(gè)在上連續(xù).當(dāng)→→(一致收斂)時(shí).第12頁共12頁安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院2012屆畢業(yè)論文例3求.解由于,那么對(duì)任意且一致收斂,則.3.3利用積分中值定理求含積分式函數(shù)的極限在求積分式下極限時(shí),如果

8、積分麻煩或原函數(shù)求不出來,可以考慮利用積分中值定理來求解.定理3（積分中值定理）如果在上連續(xù),上可積且不變號(hào),則存在,使得.例4求,其中為自然數(shù).解此問題中的,由積分中值定理知,在之間存在,使得,所以.3.4利用改進(jìn)的中值定理例5求極限，引入如下“改進(jìn)的定積分中值定理”.若則