第20屆華杯賽小高決賽b卷-解析

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1、第二十屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽試題B（小學(xué)高年級組）一、填空題（每小題10份，共80分）1.計算：________．【難度】★【考點】計算：提取公因數(shù)【答案】【解析】2.甲、乙、丙、丁四人共植樹60棵．已知，甲植樹的棵數(shù)是其余三人的二分之一，乙植樹的棵數(shù)是其余三人的三分之一，丙植樹的棵數(shù)是其余三人的四分之一，那么丁植樹________棵．【難度】★★【考點】應(yīng)用題：分?jǐn)?shù)應(yīng)用題【答案】13【解析】甲=總數(shù)的三分之一=20，乙=總數(shù)的四分之一=15，丙=總數(shù)的五分之一=12，所以?。茫?.當(dāng)時間為5點8分時，鐘表面上的時針與分針成________度的角．【難度】★★【

2、考點】行程：時鐘問題【答案】106【解析】5點時，時針分針夾角150度，每分鐘追趕度，所以8分鐘追趕度，所以成度4.某個三位數(shù)是2的倍數(shù)，加1是3的倍數(shù)，加2是4的倍數(shù)，加3是5的倍數(shù)，加4是6的倍數(shù)，那么這個數(shù)最小為________．【難度】★★【考點】數(shù)論：余數(shù)、最小公倍數(shù)【答案】122【解析】這個三位數(shù)減去2得到3、4、5、6的公倍數(shù)，取三位數(shù)120，所以最小值為122．1.貝塔星球有七個國家，每個國家恰有四個友國和兩個敵國，沒有三個國家兩兩都是敵國．對于一種這樣的星球局勢，共可以組成________個兩兩都是友國的三國聯(lián)盟．【難度】★★★★【考點】計數(shù)：組合計數(shù)【

3、答案】7【解析】用這7個點代表七個國家，用虛線連接表示敵國關(guān)系，用實線連接表示友國關(guān)系．則每個國家連出2條虛線，4條實線．共條虛線，其余為實線．首先說明這7個點必然由7條虛線依次連接為一個閉合回路．必與兩個點連接虛線，不妨記為，而必然再與一個點連接虛線，記為；虛線連接，否則剩下3個點互為敵國關(guān)系；虛線連接，否則剩下兩個點無法由2條虛線連接；虛線連接，最后只能虛線連接．最終連線圖如下．只要選出的三個點沒有任何兩個相鄰則滿足條件．有135，136，146，246，247，257，357，這7種．（為了直觀我們用分別代表）2.由四個互不相同的非零數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的所有四位

4、數(shù)之和為106656，則這些四位數(shù)中最大的是________，最小的是________．【難度】★★★【考點】數(shù)論:位值原理【答案】9421，1249【解析】設(shè)其中最小的四位數(shù)為，一共可組成個不同的四位數(shù)，由于每個數(shù)字在每位上均出現(xiàn)6次，則24個數(shù)和為，則四個數(shù)字之和為16，所以最大和最小的可能為，9421和1249、8521和1258、8431和1348、7621和1267、7531和1357、7432和2347、6541和1456、6532和2356．3.見右圖，三角形的面積為1，，，則三角形的面積為________．【難度】★★★★【考點】幾何：等積變形【答案】【解

5、析】設(shè)三角形的面積為，由比例關(guān)系不難得出圖中另三塊的面積分別為，再設(shè)三角形的面積為，則有，得，則三角形的面積為．1.三個大于1000的正整數(shù)滿足：其中任意兩個數(shù)之和的個位數(shù)字都等于第三個數(shù)的個位數(shù)字，那么這3個數(shù)之積的末尾3位數(shù)字有________種可能數(shù)值．【難度】★★★★★【考點】組合：分類討論數(shù)論綜合【答案】4【解析】設(shè)三個數(shù)的個位分別為⑴如果都相等，則只能都為0；⑵如果中有兩個相等，①且，必有，則，與為數(shù)字矛盾；②且，則有，則；⑶如果都不相等，設(shè)，則，則，與為數(shù)字矛盾；綜上三個數(shù)的個位分別為0，0，0或0，5，5；⑴如果都為0，則乘積末尾3位為000；⑵如果為0，

6、5，5①如果個位為0的數(shù)，末尾3位都為0，則乘積末尾3位為000；②如果個位為0的數(shù)，末尾2位都為0，則乘積末尾3位為500或000；③如果個位為0的數(shù)，末尾1位為0設(shè)末尾兩位為，設(shè)另外兩個末尾2位為，則，若為奇數(shù)，則乘積末尾3位為75；若為偶數(shù)則乘積為25，在乘上,無論為多少，末尾三位只有000，250，500，750這4種．綜上，積的末尾3位有000，500，250，750這4種可能．二、解答下列各題（每題10分，共40分，要求寫出簡要過程）1.將1234567891011的某兩位數(shù)字交換能否得到一個完全平方數(shù)？請說明理由．【難度】★★★★【考點】數(shù)論：完全平方數(shù)【答

7、案】不能【解析】原數(shù)的數(shù)字和為，為3的倍數(shù)，而交換數(shù)字位置不會改變數(shù)字和，所以無論怎么調(diào)整得到的數(shù)一定為3的倍數(shù)；而一個平方數(shù)如果為3的倍數(shù)，則一定為9的倍數(shù)，而48不是9的倍數(shù)，所以無法通過交換數(shù)字位置得到一個完全平方數(shù)．2.如右圖所示，從長、寬、高為15，5，4的長方體中切走一塊長、寬、高為的長方體（為整數(shù)），余下部分的體積為120，求和．【難度】★★★【考點】幾何：長方體正方體【答案】【解析】解得；，因為為整數(shù)，且，所以．3.圓形跑道上等距插著2015面旗子，甲與乙同時同向從某個旗子出發(fā)，當(dāng)甲與乙再次同時回到出發(fā)點時，甲