高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 兩條異面直線所成的角教案

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1、湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)教案：兩條異面直線所成的角一、素質(zhì)教育目標(biāo)（一）知識(shí)教學(xué)點(diǎn)1．兩異面直線所成角的定義及兩異面直線互相垂直的概念．2．兩異面直線的公垂線和距離的概念及兩異面直線所成角及距離的求法．（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)1．利用轉(zhuǎn)化的思想，化歸的方法掌握兩異面直線所成角的定義及取值范圍，并體現(xiàn)了定義的合理性．2．利用類比的方法掌握兩異面直線的公垂線和距離等概念，應(yīng)用在證題中體現(xiàn)了嚴(yán)格的邏輯思維，并會(huì)求兩條異面直線所成角與距離．（三）德育滲透點(diǎn)進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，以及有根有據(jù)、實(shí)事求是等嚴(yán)肅的科學(xué)態(tài)度和

2、品質(zhì)．二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決方法1．教學(xué)重點(diǎn)：兩異面直線所成角的定義；兩異面直線的公垂線及距離的概念；兩異面直線所成角和距離的求法．2．教學(xué)難點(diǎn)：兩異面直線所成角及距離的求法．3．教學(xué)疑點(diǎn)：因?yàn)閮蓷l異面直線既不相交，但又有所成的角，這對(duì)于初學(xué)立體幾何的學(xué)生來(lái)說(shuō)是難以理解的．講解時(shí)，應(yīng)首先使學(xué)生明了學(xué)習(xí)異面直線所成角的概念的必要性．三、課時(shí)安排1課時(shí)．四、教與學(xué)的過(guò)程設(shè)計(jì)（一）復(fù)習(xí)提問(wèn)引入課題師：上新課前，我們先來(lái)回憶：平面內(nèi)兩條相交直線一般通過(guò)什么來(lái)反映它們之間的相互位置關(guān)系？生：通過(guò)它們的夾角．如圖1－46，

3、a、b的位置關(guān)系與a′、b′的位置關(guān)系是不一樣的，a、b的夾角比a′、b′的夾角來(lái)的小．師：那么兩條異面直線是否也能用它們所成的角來(lái)表示它們之間相互位置的不同狀況．例如要表示大橋上火車行駛方向與橋下輪船航行方向間的關(guān)系，就要用到兩條異面直線所成角的概念．（二）異面直線所成的角師：怎么定義兩條異面直線所成的角呢？能否轉(zhuǎn)化為用共面直線所成的角來(lái)表示呢？生：可以把異面直線所成角轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)兩直線所成角來(lái)表示．如圖1－47，異面直線a、b，在空間中任取一點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O分別引a′∥a，b′∥b，則a′，b′所成的銳角（或直角）叫做

4、兩條異面直線所成的角．師：針對(duì)這個(gè)定義，我們來(lái)思考兩個(gè)問(wèn)題．問(wèn)題1：這樣定義兩條異而直線所成的角，是否合理？對(duì)空間中的任一點(diǎn)O有無(wú)限制條件？答：在這個(gè)定義中，空間中的一點(diǎn)是任意取的．若在空間中，再取一點(diǎn)O′，過(guò)點(diǎn)O′作a″∥a，b″∥b，根據(jù)等角定理，a″與b″所成的銳角（或直角）和a′與b′所成的銳角（或直角）相等．即過(guò)空間任意一點(diǎn)引兩條直線分別平行于兩條異面直線，它們所成的銳角（或直角）都是相等的，值是唯一的、確定的，而與所取的點(diǎn)位置無(wú)關(guān)，這表明這樣定義兩條異面直線所成角的合理性．注意：有時(shí)，為了方便，可將點(diǎn)O取在

5、a或b上．問(wèn)題2：這個(gè)定義與平面內(nèi)兩相交直線所成角是否有矛盾？答：沒(méi)有矛盾．當(dāng)a、b相交時(shí)，此定義仍適用，表明此定義與平面內(nèi)兩相交直線所成角的概念沒(méi)有矛盾，是相交直線所成角概念的推廣．師：在定義中，兩條異面直線所成角的范圍是（0°，90°]，若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直（出示模型：正方體）．例如，正方體上的任一條棱和不平行于它的八條棱都是相互垂直的，其中有的和這條棱相交，有的和這條棱異面．（三）兩條異面直線的距離師：（出示模型）觀察模型，思考問(wèn)題：a與b，a′與b所成角相等，但是否就表示

6、它們之間的相互位置也一樣呢？生：不是．它們之間的遠(yuǎn)近距離不一樣，從而得到兩條異面直線的相互位置除了用它們所成的角表示，還要用它們之間的距離表示．師：那么如何表示兩條異面直線之間的距離呢？我們來(lái)回憶在平面幾何中，兩條平行線間的位置關(guān)系是用什么來(lái)表示的？生：用兩平行線間的距離來(lái)表示．師：對(duì)．如圖1－50，要知道它們的距離，先要定義它們的公垂線，如圖1－50：a∥b，a′∥b′，c⊥a，c′⊥a′，則a、b與a′、b′的公垂線分別為c、c′，且線段AB、A′B′的長(zhǎng)度分別是a、b與a′、b′之間的距離．對(duì)兩條異面直線的距離，

7、我們可以應(yīng)用類似的方法先定義它們的公垂線．定義：和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線．師：根據(jù)定義，思考問(wèn)題．問(wèn)題1：和兩條異面直線都垂直的直線有多少條？答：無(wú)數(shù)條．因?yàn)閮蓷l異面直線互相垂直時(shí)，它們不一定相交，所以公垂線的定義要注意“相交”的含義．問(wèn)題2：兩條異面直線的公垂線有幾條？答：有且只有一條（出示正方體骨架模型），能和AA′、B′C′都垂直相交的只有A′B′一條；能和AB與面A′C′內(nèi)過(guò)點(diǎn)A′的直線都垂直相交的直線只有一條AA′．師：有了兩條異面直線公垂線的概念，我們就可以定義兩條異面生成的距

8、離．定義：兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長(zhǎng)度，叫做兩條異面直線的距離．如圖1－52中的線段AB的長(zhǎng)度就是異面直線a、b間的距離．下面，我們來(lái)完成練習(xí)和例題．（四）練習(xí)例設(shè)圖1－53中的正方體的棱長(zhǎng)為a，（1）圖中哪些棱所在的直線與直線BA′成異面直線？（2）求直線BA′和CC′所成的角的大小．（3）求異面直線BC和