晶格振動(dòng)-3.1簡(jiǎn)諧震動(dòng)簡(jiǎn)正坐標(biāo)

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1、第三章晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動(dòng):原子在格點(diǎn)附近的振動(dòng)。熱學(xué)性質(zhì)杜?。晏娼?jīng)驗(yàn)規(guī)律：一摩爾固體有N個(gè)原子，有3N個(gè)振動(dòng)自由度，按能量均分定律，每個(gè)自由度平均熱能為kT，摩爾熱容量3Nk＝3R（經(jīng)典理論結(jié)果）；但在較低溫度下，熱容量隨著溫度的降低而下降。實(shí)際上：晶格振動(dòng)還是研究固體宏觀性質(zhì)和微觀過(guò)程的重要基礎(chǔ)；晶體的熱學(xué)性質(zhì)、電學(xué)性質(zhì)、光學(xué)性質(zhì)、超導(dǎo)電性、磁性、結(jié)構(gòu)相變等都有密切關(guān)系晶格中原子間存在相互作用力，各原子振動(dòng)相互聯(lián)系著的，在晶體中形成了各種模式的波簡(jiǎn)諧近似下，這些模式是相互獨(dú)立的這些諧振子的能量量子，稱(chēng)為聲子；晶格振動(dòng)的總體可看作是聲

2、子的系綜由于晶格周期性，模式所取的能量值是分立的；用一系列獨(dú)立的簡(jiǎn)諧振子來(lái)描述這些獨(dú)立而又分立的振動(dòng)模式§3.1簡(jiǎn)諧近似和簡(jiǎn)正坐標(biāo)簡(jiǎn)諧近似:只考慮最近鄰原子之間的相互作用，將原子在平衡位置的振動(dòng)看成簡(jiǎn)諧振動(dòng)（線(xiàn)性近似）研究對(duì)象:由N個(gè)質(zhì)量為m的原子組成的晶體偏離平衡位置的位移矢量原子的瞬時(shí)位置：第n個(gè)原子的平衡位置（格點(diǎn)位置）3個(gè)方向上的分量原子位移宗量N個(gè)原子的位移矢量共有3N個(gè)分量N個(gè)原子體系的勢(shì)能函數(shù):（用標(biāo)量表示）。在平衡位置按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)取平衡位置——不計(jì)高階項(xiàng)系統(tǒng)的勢(shì)能函數(shù)系統(tǒng)的哈密頓量系統(tǒng)的勢(shì)能函數(shù)系統(tǒng)的動(dòng)能函數(shù)應(yīng)用上式求解系統(tǒng)的問(wèn)題，

3、由于存在坐標(biāo)的交叉項(xiàng)而變得非常困難引入簡(jiǎn)正坐標(biāo)（原子的坐標(biāo)和簡(jiǎn)正坐標(biāo)通過(guò)正交變換聯(lián)系起來(lái)）系統(tǒng)的哈密頓量：拉格朗日函數(shù)：正則動(dòng)量：由于動(dòng)能為正定的，根據(jù)線(xiàn)性代數(shù)理論，總可以找到這樣的變換，使得系統(tǒng)的哈密頓量正則方程3N個(gè)獨(dú)立的方程簡(jiǎn)正坐標(biāo)方程解正則動(dòng)量只考察某一個(gè)振動(dòng)模固體中的原子是一個(gè)具有相互作用的多粒子復(fù)雜系統(tǒng)，通過(guò)引入簡(jiǎn)正坐標(biāo)，而將系統(tǒng)簡(jiǎn)化為3N個(gè)相互獨(dú)立的震動(dòng)模式。簡(jiǎn)正振動(dòng)：晶體中所有原子參與振動(dòng)，振動(dòng)頻率相同振動(dòng)模：簡(jiǎn)正坐標(biāo)代表所有原子共同參與的一個(gè)振動(dòng)正則動(dòng)量算符系統(tǒng)薛定諤方程相關(guān)量子理論任意一個(gè)簡(jiǎn)正坐標(biāo)——諧振子方程能量本征值本征態(tài)函數(shù)

4、—厄密多項(xiàng)式系統(tǒng)能量本征值系統(tǒng)本征態(tài)函數(shù)N個(gè)原子組成的晶體系統(tǒng)薛定諤方程同樣是建立在簡(jiǎn)正坐標(biāo)的基礎(chǔ)上的！