簡諧震動(dòng)簡正坐標(biāo)(0301)

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1、第三章晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動(dòng)的研究——這里是為了研究晶體的熱學(xué)性質(zhì)固體熱容量——晶體的重要熱學(xué)性質(zhì)（宏觀）杜隆－珀替經(jīng)驗(yàn)規(guī)律——一摩爾固體有N個(gè)原子，有3N個(gè)振動(dòng)自由度，按能量均分定律，每個(gè)自由度平均熱能為kT，摩爾熱容量3Nk＝3R（經(jīng)典理論結(jié)果，與實(shí)驗(yàn)不符合）——在較低溫度下，熱容量隨著溫度的降低而下降（不是常量）實(shí)際上：晶格振動(dòng)——還是研究固體宏觀性質(zhì)和微觀過程的重要基礎(chǔ)——晶體的熱學(xué)性質(zhì)、電學(xué)性質(zhì)、光學(xué)性質(zhì)、超導(dǎo)電性、磁性、結(jié)構(gòu)相變等都有密切關(guān)系物理背景和固體物理中解決問題的思路：原子的振動(dòng)——晶格振動(dòng)在晶體

2、中形成了各種模式的波——簡諧近似下，系統(tǒng)哈密頓量是相互獨(dú)立簡諧振動(dòng)哈密頓量之和——這些諧振子的能量量子，稱為聲子——晶格振動(dòng)的總體可看作是聲子的系綜——用一系列獨(dú)立的簡諧振子來描述這些獨(dú)立而又分立的振動(dòng)模式——這些模式是相互獨(dú)立的，模式所取的能量值是分立的§3.1簡諧近似和簡正坐標(biāo)簡諧近似——將原子在平衡位置的振動(dòng)看成簡諧振動(dòng)（線性近似），并且只考慮最近鄰原子之間的相互作用研究對(duì)象——由N個(gè)質(zhì)量為m的原子組成的晶體偏離平衡位置的位移矢量原子的瞬時(shí)位置：第n個(gè)原子的平衡位置（格點(diǎn)位置）3個(gè)方向上的分量原子位移宗量N個(gè)原子的位移矢

3、量N個(gè)原子體系的勢(shì)能函數(shù):（用標(biāo)量表示）。在平衡位置按泰勒級(jí)數(shù)展開取平衡位置——不計(jì)高階項(xiàng)系統(tǒng)的勢(shì)能函數(shù)系統(tǒng)的哈密頓量系統(tǒng)的勢(shì)能函數(shù)系統(tǒng)的動(dòng)能函數(shù)引入簡正坐標(biāo)（原子的坐標(biāo)和簡正坐標(biāo)通過正交變換聯(lián)系起來假設(shè)存在線性變換（實(shí)際上是存在?。┫到y(tǒng)的哈密頓量：拉格朗日函數(shù)：正則動(dòng)量：系統(tǒng)的哈密頓量正則方程——3N個(gè)獨(dú)立的方程簡正坐標(biāo)方程解簡正振動(dòng)——晶體中所有原子參與振動(dòng)，振動(dòng)頻率相同振動(dòng)模——簡正坐標(biāo)代表所有原子共同參與的一個(gè)振動(dòng)正則動(dòng)量只考察某一個(gè)振動(dòng)?？梢钥闯觯?.固體中的原子是一個(gè)具有相互作用的多粒子復(fù)雜系統(tǒng)，通過引入簡正坐標(biāo)，

4、而將系統(tǒng)簡化為3N個(gè)相互獨(dú)立的震動(dòng)模式。2.之所以能有采取“簡諧近似”，或者說之所以“簡諧近似”有效，是因?yàn)榫w中原子實(shí)際是在平衡位置附近做微小的振動(dòng)，使得能夠進(jìn)行這種線性的近似！這種“脫耦”的方法在具有相互作用的多粒子體系中十分的常用（處理低激發(fā)態(tài)時(shí)的常用方法）正則動(dòng)量算符系統(tǒng)薛定諤方程相關(guān)量子理論任意一個(gè)簡正坐標(biāo)——諧振子方程能量本征值本征態(tài)函數(shù)—厄密多項(xiàng)式系統(tǒng)能量本征值系統(tǒng)本征態(tài)函數(shù)N個(gè)原子組成的晶體系統(tǒng)薛定諤方程同樣是建立在簡正坐標(biāo)的基礎(chǔ)上的！