晶格振動31簡諧震動簡正坐標(biāo)

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1、第三章晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動:原子在格點(diǎn)附近的振動。熱學(xué)性質(zhì)杜?。晏娼?jīng)驗(yàn)規(guī)律：一摩爾固體有N個原子，有3N個振動自由度，按能量均分定律，每個自由度平均熱能為kT，摩爾熱容量3Nk＝3R（經(jīng)典理論結(jié)果）；但在較低溫度下，熱容量隨著溫度的降低而下降。實(shí)際上：晶格振動還是研究固體宏觀性質(zhì)和微觀過程的重要基礎(chǔ)；晶體的熱學(xué)性質(zhì)、電學(xué)性質(zhì)、光學(xué)性質(zhì)、超導(dǎo)電性、磁性、結(jié)構(gòu)相變等都有密切關(guān)系晶格中原子間存在相互作用力，各原子振動相互聯(lián)系著的，在晶體中形成了各種模式的波簡諧近似下，這些模式是相互獨(dú)立的這些諧振子的能量量子，稱為聲子；晶格振動的總體

2、可看作是聲子的系綜由于晶格周期性，模式所取的能量值是分立的；用一系列獨(dú)立的簡諧振子來描述這些獨(dú)立而又分立的振動模式§3.1簡諧近似和簡正坐標(biāo)簡諧近似:只考慮最近鄰原子之間的相互作用，將原子在平衡位置的振動看成簡諧振動（線性近似）研究對象:由N個質(zhì)量為m的原子組成的晶體偏離平衡位置的位移矢量原子的瞬時位置：第n個原子的平衡位置（格點(diǎn)位置）3個方向上的分量原子位移宗量N個原子的位移矢量共有3N個分量N個原子體系的勢能函數(shù):（用標(biāo)量表示）。在平衡位置按泰勒級數(shù)展開取平衡位置——不計高階項系統(tǒng)的勢能函數(shù)系統(tǒng)的哈密頓量系統(tǒng)的勢能函數(shù)系統(tǒng)的動能函數(shù)應(yīng)用

3、上式求解系統(tǒng)的問題，由于存在坐標(biāo)的交叉項而變得非常困難引入簡正坐標(biāo)（原子的坐標(biāo)和簡正坐標(biāo)通過正交變換聯(lián)系起來）系統(tǒng)的哈密頓量：拉格朗日函數(shù)：正則動量：由于動能為正定的，根據(jù)線性代數(shù)理論，總可以找到這樣的變換，使得系統(tǒng)的哈密頓量正則方程3N個獨(dú)立的方程簡正坐標(biāo)方程解正則動量只考察某一個振動模固體中的原子是一個具有相互作用的多粒子復(fù)雜系統(tǒng)，通過引入簡正坐標(biāo)，而將系統(tǒng)簡化為3N個相互獨(dú)立的震動模式。簡正振動：晶體中所有原子參與振動，振動頻率相同振動模：簡正坐標(biāo)代表所有原子共同參與的一個振動正則動量算符系統(tǒng)薛定諤方程相關(guān)量子理論任意一個簡正坐標(biāo)——

4、諧振子方程能量本征值本征態(tài)函數(shù)—厄密多項式系統(tǒng)能量本征值系統(tǒng)本征態(tài)函數(shù)N個原子組成的晶體系統(tǒng)薛定諤方程同樣是建立在簡正坐標(biāo)的基礎(chǔ)上的！