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1、第七章直線和圓的方程●知識梳理1.直線方程的五種形式162.直線的傾斜角、斜率及直線的方向向量及位置關(guān)系:(1)直線的傾斜角在平面直角坐標(biāo)系中,對于一條與x軸相交的直線,如果把x軸繞著交點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)的最小正角記為α,那么α就叫做直線的傾斜角.直線和x軸平行或重合時,直線的傾斜角為0°,直線傾斜角取值范圍0°≤α<180°.(2)直線的斜率傾斜角α不是90°的直線,它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率,常用k表示,即k=tanα(α≠90°).傾斜角是90°的直線沒有斜率;傾斜角不是90°的直線都有斜率,其取值范圍是(-∞,+∞).(4)求直線
2、斜率的方法①定義法:已知直線的傾斜角為α,且α≠90°,則斜率k=tanα.②公式法:已知直線過兩點(diǎn)P1(x1,y1)、P2(x2,y2),且x1≠x2,則斜率k=.平面直角坐標(biāo)系內(nèi),每一條直線都有傾斜角,但不是每一條直線都有斜率.對于直線上任意兩點(diǎn)P1(x1,y1)、P2(x2,y2),當(dāng)x1=x2時,直線斜率k不存在,傾斜角α=90°;當(dāng)x1≠x2時,直線斜率存在,是一實(shí)數(shù),并且k≥0時,α=arctank,k<0時,α=π+arctank.(5)到角與夾角:若直線l1,l2的斜率分別為k1,k2,將l1繞它們的交點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)到與l2重合所轉(zhuǎn)過的最小正角叫l(wèi)1
3、到l2的角;l1與l2所成的角中不超過900的正角叫兩者的夾角。若記到角為θ,夾角為α,則tanθ=,tanα=.(6)平行與垂直:若直線l1與l2的斜率分別為k1,k2。且兩者不重合,則l1//l2的充要條件是k1=k2;l1l2的充要條件是k1k2=-1。(7)兩點(diǎn)P1(x1,y1)與P2(x2,y2)間的距離公式:
4、P1P2
5、=。(8)點(diǎn)P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離公式:。3.直線系的方程:若已知兩直線的方程是l1:A1x+B1y+C1=0與l2:A2x+B2y+C2=0,則過l1,l2交點(diǎn)的直線方程為A1x+B1y+C1+λ(A2x+
6、B2y+C2)=0;與l2平行的直線方程為A1x+B1y+C=0().4.簡單的線性規(guī)劃問題:若直線l方程為Ax+By+C=0.若B>0,則Ax+By+C>0表示的區(qū)域?yàn)閘上方(或稱右方)的部分,Ax+By+C<0表示的區(qū)域?yàn)閘下方(或稱左方)的部分。注:解決簡單的線性規(guī)劃問題的一般步驟:(1)確定各變量,并以x和y表示;(2)寫出線性約束條件和線性目標(biāo)函數(shù);(3)畫出滿足約束條件的可行域;(4)求出最優(yōu)解。16直線系與對稱問題(一)主要知識及方法:點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為;關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為;關(guān)于的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為;關(guān)于的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐
7、標(biāo)的求法:設(shè)所求的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為,則的中點(diǎn)一定在直線上.直線與直線的斜率互為負(fù)倒數(shù),即直線關(guān)于直線的對稱直線方程的求法:①到角相等;②在已知直線上去兩點(diǎn)(其中一點(diǎn)可以是交點(diǎn),若相交)求這兩點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn),再求過這兩點(diǎn)的直線方程;③軌跡法(相關(guān)點(diǎn)法);④待定系數(shù)法,利用對稱軸所在直線上任一點(diǎn)到兩對稱直線的距離相等,…點(diǎn)關(guān)于定點(diǎn)的對稱點(diǎn)為,曲線:關(guān)于定點(diǎn)的對稱曲線方程為.直線系方程:直線(為常數(shù),參數(shù);為參數(shù),位常數(shù)).過定點(diǎn)的直線系方程為及與直線平行的直線系方程為()與直線垂直的直線系方程為過直線和的交點(diǎn)的直線系的方程為:16(不含)16(二)典例分析:例1(
8、1)求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)(2)求關(guān)于直線的對稱點(diǎn)(3)一張坐標(biāo)紙,對折后,點(diǎn)A(0,4)與點(diǎn)B(8,0)重疊,若點(diǎn)C(6,8)與D(m,n)重疊,求m+n;例2:試求直線關(guān)于直線對稱的直線的方程。練習(xí):(2)求直線關(guān)于直線x=3對稱的直線方程;(3)求直線關(guān)于直線對稱的直線方程;例3(1)已知,在直線上找一點(diǎn)P,使最小,并求最小值;(2)已知,在直線上找一點(diǎn)P,使最大,并求最大值;例4光線由點(diǎn)A(2,3)射到直線反射,反射光線經(jīng)過點(diǎn)B(1,1)求反射光線所在直線方程。16練習(xí):1、光線從射出,被x軸反射后經(jīng)過點(diǎn)B(3,2),求入射光線所在直線方程;2、光線沿著直線
9、射向直線,求反射光線所在直線方程。3、直線關(guān)于直線的對稱直線方程是,求直線的傾斜角;4、直線和直線關(guān)于直線對稱,求直線的方程;5、一張坐標(biāo)紙對折后,點(diǎn)A(0,2)與點(diǎn)B(4,0)重疊,若點(diǎn)C(2,3)與D(m,n)重疊,求m+n;6、求直線關(guān)于點(diǎn)A(2,3)對車的直線方程7、與關(guān)于直線對稱,求直線的方程;8(選)、入射光線沿直線射到x軸后反射,這時又沿著直線射到y(tǒng)軸,由y軸再反射沿著直線射出,求直線的方程;16二、圓的方程及有關(guān)問題(一)、圓及圓的一般方程1.圓的一般方程:2.推導(dǎo):圓心為C(a,b),半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2.①展
10、開整理得: