數(shù)學(xué)建模在工程中的應(yīng)用

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1、模糊分析法解足球隊(duì)排名問題余科（數(shù)理學(xué)院122112）蘇博飛（數(shù)理學(xué)院122111）王有元（數(shù)理學(xué)院122111）過思甸（公管學(xué)院023112）摘要：本文解答了93年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽B題，運(yùn)用模糊聚類分析法，討論了足球隊(duì)比賽的排名問題。首先，我們將數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，求出每隊(duì)的勝,負(fù),平以及總場(chǎng)數(shù)，歸一化處理后作為建模的影響因子，然后由相似系數(shù)構(gòu)建模糊相似矩陣，最后構(gòu)建模糊等價(jià)矩陣截取進(jìn)行排名，并將得到的結(jié)果從12支隊(duì)推廣到了N支隊(duì)的情況。本文中所用的方法經(jīng)過驗(yàn)證，得到的結(jié)果合理，可信。關(guān)鍵詞：模糊分析法，相似

2、系數(shù)，比賽排名一問題分析根據(jù)題目所給的表格，我們能得到的數(shù)據(jù)是殘缺和不整齊對(duì)稱的，這樣就給排名造成了困難。例如在圖表中，T1隊(duì)和T2隊(duì)打了三場(chǎng)比賽，和T5只打了一場(chǎng)比賽，和T11沒打比賽。這樣如果只是單純的利用勝利的場(chǎng)數(shù)來進(jìn)行排名，所得到的結(jié)果必定是不完善的，同時(shí)也是不準(zhǔn)確的。因此為了得到較完善的結(jié)果，我們可以先將每個(gè)隊(duì)所參加的比賽中，勝，負(fù)和平的場(chǎng)數(shù)列表如下，得到每個(gè)隊(duì)實(shí)力的大概了解。表一場(chǎng)數(shù)隊(duì)T1T2T3T4T5T6T7T8T9T10T11T12勝10581221367612負(fù)5441253188563平46

3、3620332624總19151519951717171799接著，我們分析各隊(duì)在每場(chǎng)比賽中的平均進(jìn)球數(shù)，失球數(shù)和進(jìn)失球數(shù)差數(shù)，這些數(shù)據(jù)也有助于我們進(jìn)一步了解各隊(duì)的實(shí)力。列表如下：表二T1T2T3T4T5T6T7T8T9T10T11T12進(jìn)球數(shù)1.4120.81.3330.63210.62.0590.9410.6470.8820.7780.667失球數(shù)0.9410.6670.81.6841.4441.20.5880.824111.5561進(jìn)失球差0.4710.4330.533-1.052-0.444-0.61.4

4、710.118-0.353-0.118-0.778-0.333通過表一，二的分析，我們可以確定T7是最好的，T4是最差的，但是對(duì)于其他的球隊(duì)僅以上述數(shù)據(jù)還是無法得出準(zhǔn)確可信的排名。為了得出合理可信的排名，我們還應(yīng)該考慮，Ti與其余各隊(duì)的比賽成績(jī)，由于有的對(duì)和其余的對(duì)沒有比賽，其成績(jī)難以確定。為了解決這個(gè)難題，我們準(zhǔn)備先制定一個(gè)規(guī)則，為各隊(duì)定義一組特征數(shù)據(jù)，同時(shí)計(jì)算各隊(duì)之間的模糊相似度。最后綜合表一二，即可得出合理的排名出來。二模型假設(shè)1,基本假設(shè)1)參賽各隊(duì)存在客觀的真實(shí)實(shí)力,這是任何一種排名算法的基礎(chǔ)2)在每場(chǎng)

5、比賽中體現(xiàn)出來的強(qiáng)隊(duì)對(duì)弱隊(duì)的表面實(shí)力對(duì)比是以它們的真實(shí)實(shí)力對(duì)比為中心的互相獨(dú)立的正態(tài)分布,這條假設(shè)保證了我們可以以比賽成績(jī)?yōu)橐罁?jù)對(duì)球隊(duì)的真實(shí)實(shí)力進(jìn)行排名,3)每場(chǎng)比賽對(duì)于排名的重要性相同，每個(gè)進(jìn)失球?qū)τ谂琶餐瑯又匾?)確定各隊(duì)的特征數(shù)據(jù)時(shí)，僅計(jì)算進(jìn)失球的差數(shù)。2，建模假設(shè)1）根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)可以知道，甲以一場(chǎng)2:1勝乙，易于兩場(chǎng)都以2:1勝乙，同理更易于三場(chǎng)都以2:1勝乙。對(duì)于這種情況，我們?cè)谶M(jìn)行計(jì)算時(shí)要對(duì)數(shù)據(jù)加權(quán)。例如：r甲乙=（2-1）S，r甲乙=，r甲乙=。我們?nèi)>V>S，且令S=1.0，V=1.2，U=

6、1.4。2）Ti與Ti自身的特征數(shù)據(jù)為rii=0。3）用絕對(duì)值減數(shù)法確定Ti與Tj之間的模糊程度：；通過估算c=0.038；4）排名原則：越先聚為一類的隊(duì)，名次越靠近。三建模及求解根據(jù)假設(shè)的模型，以及表一二的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出各隊(duì)的特征數(shù)據(jù)如下，假設(shè)論域?yàn)門={T1,T2,T3,T4,T5,T6,T7,T8,T9,T10,T11,T12}，于是有：接著，利用絕對(duì)值減數(shù)法，可以計(jì)算與的模糊相似程度，于是有模糊相似矩陣X：有前面的表一二分析得，為倒數(shù)第一名。再根據(jù)上面的模糊相似矩陣可以得出T1~T12中與T4的相似系數(shù)

7、為：表三T1T2T3T4T5T6T7T8T9T10T11T120.3510.3970.27510.6450.5110.0040.4530.5690.3720.6020.572為了便于觀察，我們將X4j(即j隊(duì)與4隊(duì)的相似程度)用Tj來表示，知道T5=0.645是除T4外最大的首先與聚成一隊(duì)的是,因此可以得出為倒數(shù)第二名。同理，再由模糊相似矩陣得首先與聚成一隊(duì)的是,則為倒數(shù)第三名，依次類推則可得出排名如下表：表四名次123456789101112隊(duì)名T7T3T1T9T10T8T11T12T2T6T5T4根據(jù)模型的假

8、設(shè)與模糊矩陣的計(jì)算，使得我們的排名具有一定的準(zhǔn)確性和可信性。四模型的合理性分析及推廣討論上述模型的優(yōu)點(diǎn)在于：1）它存在反饋機(jī)制,并且具有穩(wěn)定性,保證了排名的公平和令人信服。2）對(duì)要比較的兩隊(duì)之間沒有必須比賽的要求，即使有部分?jǐn)?shù)據(jù)殘缺也不影響模型的建立及問題的求解。3）以上所作出的排名算法很容易得到推廣，當(dāng)隊(duì)數(shù)不是12而是N時(shí)，可以利用計(jì)算機(jī)來進(jìn)行計(jì)算。此外，我們的算法還受