解題--以例說題--雙極值問題小議--任大江

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1、以例說題:雙極值問題小議——城固二中任大江723200內(nèi)容摘要:函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一直以來都是高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn),特別是與極值相關(guān)的數(shù)學(xué)問題??疾凰ァ1疚膹膬蓚€相似高考題目的解答講起,抽象出含有雙極值問題解法的一般思路,進(jìn)而達(dá)到對比掌握和運(yùn)用。關(guān)鍵詞:參數(shù)極值點(diǎn)導(dǎo)函數(shù)1.問題的提出高三數(shù)學(xué)進(jìn)入一輪復(fù)習(xí)后,函數(shù)題目總是知識的交匯,常見的如含參問題單調(diào)區(qū)間的討論、證明不等式等,這些對于學(xué)生來說既熟悉又陌生,這是由于題型是常見的,但思維要求比較高,不易解答,最近一學(xué)生問了一個關(guān)于雙極值問題引起了我的思考。問題:(2013湖北)設(shè)a為常數(shù),有兩極值點(diǎn)且,則ABCD剛看到此題,第一反應(yīng)就是

2、求導(dǎo),導(dǎo)數(shù)有兩零點(diǎn)應(yīng)該可以解決,可是求完導(dǎo)后發(fā)現(xiàn)題目挺復(fù)雜,作為選擇題不是第一選擇,有沒有“絕招”呢?考慮函數(shù)圖象與極值的關(guān)系、定義域、極限值,其圖像大致如此于是大膽選擇D,這樣講完心里總是擔(dān)心:這個問題到底解決沒?學(xué)生能理解嗎?數(shù)值怎么算出來的?準(zhǔn)確解答又該是什么樣子?這些困惑促使我去思考:1.問題的解答1.1同類問題的思考借鑒偶爾的一次翻閱,發(fā)現(xiàn)09年全國卷2有類似的影子,題目如下:設(shè)函數(shù)有兩極值點(diǎn)且(Ⅰ)求a的取值范圍,并討論的單調(diào)性(Ⅱ)證明:解:(Ⅰ),∵有兩極值點(diǎn)則函數(shù)在上有不等兩根從而(注:亦可分離參數(shù)考察交點(diǎn)問題)的單調(diào)性略(Ⅱ)由(Ⅰ)知而對稱軸則令易

3、知故在上單增于是即1.2歸結(jié)整理,理清思路1.1解答問題,熟悉過程又有兩極值點(diǎn)則導(dǎo)數(shù)與軸有兩交點(diǎn),即有兩根令只需其存在極值且不為0而故(Ⅰ)當(dāng)時,單調(diào)遞增,無極值,不合題意.(Ⅱ)當(dāng)時,令得時,,單調(diào)遞增;時,單調(diào)遞減是的極大值,則即∴進(jìn)一步有∴∴1.1解題后的反思從這兩個題目的解答來看,這類題目知識交匯性強(qiáng),但思路簡單,主要是學(xué)會轉(zhuǎn)化,把復(fù)雜函數(shù),通過求導(dǎo)研究一個相對簡單的函數(shù)并且從表達(dá)上轉(zhuǎn)換問題,把包裹的外皮剝?nèi)?,獲得新生。從我自身來說剛看到此題思路正確但沒有信心做出來,主要是沒有對參數(shù)代換進(jìn)而放縮求得結(jié)論,這就告訴我們在平時數(shù)學(xué)教學(xué)時要有意識的交給學(xué)生轉(zhuǎn)換、劃歸的

4、意識,特別是壓軸題目的解答。2.熟能生巧,檢驗(yàn)成果(1)是的兩極值點(diǎn)(Ⅰ),求證:.(Ⅱ),求的取值范圍.(2)的極值點(diǎn)為(Ⅰ)且,求求的取值范圍.(Ⅱ)若且,證明:(3)是函數(shù)的兩不同極值點(diǎn),,若,證明:(解答留給讀者)參考文獻(xiàn)[1]嚴(yán)士健、王尚志.學(xué)必修1[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2004審定.[2]梁紅.高考試題詳解—2014.陜西科學(xué)技術(shù)出版社,2014.

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