桿件的變形計(jì)算(I)

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1、第四章桿件的變形計(jì)算本部分主要內(nèi)容:拉壓桿的軸向變形圓軸的扭轉(zhuǎn)變形與相對(duì)扭轉(zhuǎn)角梁的彎曲變形、撓曲線近似微分方程用積分法求梁的彎曲變形用疊加法求梁的彎曲變形直桿在其軸線的外力作用下，縱向發(fā)生伸長(zhǎng)或縮短變形，而其橫向變形相應(yīng)變細(xì)或變粗桿件在軸線方向的伸長(zhǎng)縱向應(yīng)變由胡克定律得到軸向拉壓變形公式第一節(jié)拉壓桿的軸向變形公式的適用條件:1）線彈性范圍以內(nèi)，材料符合胡克定律2）在計(jì)算桿件的伸長(zhǎng)時(shí)，l長(zhǎng)度內(nèi)其FN、A、l均應(yīng)為常數(shù)，若為變截面桿或階梯桿，則應(yīng)進(jìn)行分段計(jì)算或積分計(jì)算。橫向也會(huì)發(fā)生變形橫向應(yīng)變通過試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)材料在彈性范圍內(nèi)時(shí)，拉壓桿的縱向應(yīng)變和橫向應(yīng)變存在如

2、下的比例關(guān)系泊松比泊松比ν、彈性模量E、切變模量G都是材料的彈性常數(shù)，可以通過實(shí)驗(yàn)測(cè)得。對(duì)于各向同性材料，可以證明三者之間存在著下面的關(guān)系例題4-1(教材70頁)如圖所示階梯形直桿，已知該桿AB段橫截面面積A1=800mm2，BC段橫截面面積A2=240mm2，桿件材料的彈性模量E=200GPa，求該桿的總伸長(zhǎng)量。1）求出軸力，并畫出軸力圖2）求伸長(zhǎng)量mm伸長(zhǎng)縮短縮短例4-2節(jié)點(diǎn)位移問題(教材70頁)如圖所示桁架，鋼桿AC的橫截面面積A1=960mm2，彈性模量E1=200GPa。木桿BC的橫截面面積A2=25000mm2，長(zhǎng)1m，彈性模量E2=10GPa

3、。求鉸接點(diǎn)C的位移。F=40kN。分析通過節(jié)點(diǎn)C的受力分析可以判斷AC桿受拉而BC桿受壓，AC桿將伸長(zhǎng)，而BC桿將縮短。因此，C節(jié)點(diǎn)變形后將位于C3點(diǎn)由于材料力學(xué)中的小變形假設(shè)，可以近似用C1和C2處的圓弧的切線來代替圓?。ㄒ郧写》ǎ?，得到交點(diǎn)C0[解]1）分析節(jié)點(diǎn)C,求AC和BC的軸力（均預(yù)先設(shè)為拉力）拉壓伸長(zhǎng)縮短2）求AC和BC桿分別的變形量3）分別作AC1和BC2的垂線交于C0C點(diǎn)總位移：(此問題若用圓弧精確求解)第二節(jié)圓軸的扭轉(zhuǎn)變形及相對(duì)扭轉(zhuǎn)角在談到圓軸扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式的推導(dǎo)時(shí)，相距為dx的兩個(gè)相鄰截面之間有相對(duì)轉(zhuǎn)角dj取單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角用來表示扭

4、轉(zhuǎn)變形的大小單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角的單位:rad/m抗扭剛度越大，單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角越小在一段軸上，對(duì)單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角公式進(jìn)行積分，就可得到兩端相對(duì)扭轉(zhuǎn)角j。相對(duì)扭轉(zhuǎn)角的單位:rad當(dāng)為常數(shù)時(shí)：請(qǐng)注意單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角和相對(duì)扭轉(zhuǎn)角的區(qū)別同種材料階梯軸扭轉(zhuǎn)時(shí):例4-3一受扭圓軸如圖所示，已知：T1=1400N·m，T2=600N·m，T3=800N·m，d1=60mm，d2=40mm，剪切彈性模量G=80GPa，計(jì)算最大單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角。1）根據(jù)題意，首先畫出扭矩圖2）AB段單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角：3）BC段單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角：綜合兩段，最大單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角應(yīng)在BC段為0.03978rad/

5、m例4-4圖示一等直圓桿，已知d=40mma=400mmG=80GPa,jDB=1°,求:1)最大切應(yīng)力;2）jAC1）畫出扭矩圖2）求最大切應(yīng)力首先要求出M的數(shù)值梁還必須有足夠的剛度，即在受載后不至于發(fā)生過大的彎曲變形，否則構(gòu)件將無法正常工作。例如軋鋼機(jī)的軋輥，若彎曲變形過大，軋出的鋼板將薄厚不均勻，產(chǎn)品不合格；如果是機(jī)床的主軸，則將嚴(yán)重影響機(jī)床的加工精度。一、梁的變形第三節(jié)梁的彎曲變形，撓曲線近似微分方程梁在平面內(nèi)彎曲時(shí)，梁軸線從原來沿x軸方向的直線變成一條在xy平面內(nèi)的曲線，該曲線稱為撓曲線。某截面的豎向位移，稱為該截面的撓度某截面的法線方向與x軸的

6、夾角稱為該截面的轉(zhuǎn)角撓度和轉(zhuǎn)角的大小和截面所處的x方向的位置有關(guān)，可以表示為關(guān)于x的函數(shù)。撓度方程（撓曲線方程）轉(zhuǎn)角方程撓度和轉(zhuǎn)角的正負(fù)號(hào)規(guī)定：在圖示的坐標(biāo)系中，撓度w向上為正，向下為負(fù)。轉(zhuǎn)角規(guī)定截面法線與x軸夾角，逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù),即在圖示坐標(biāo)系中撓曲線具有正斜率時(shí)轉(zhuǎn)角q為正。撓度和轉(zhuǎn)角的關(guān)系在小變形假設(shè)條件下?lián)锨€的斜率（一階導(dǎo)數(shù)）近似等于截面的轉(zhuǎn)角二、撓曲線近似微分方程純彎曲情況下梁的中性層曲率與梁的彎矩之間的關(guān)系是:橫力彎曲情況下，若梁的跨度遠(yuǎn)大于梁的高度時(shí)，剪力對(duì)梁的變形可以忽略不計(jì)。但此時(shí)彎矩不再為常數(shù)。高等數(shù)學(xué)中，關(guān)于曲率的公式在梁小變

7、形情況下，梁的撓曲線近似微分方程最終可寫為梁的撓曲線近似微分方程對(duì)上式進(jìn)行一次積分,可得到轉(zhuǎn)角方程（等直梁EI為常數(shù)）再進(jìn)行一次積分,可得到撓度方程其中，C和D是積分常數(shù)，需要通過邊界條件或者連續(xù)條件來確定其大小。第四節(jié)用積分法求梁的彎曲變形邊界條件在約束處的轉(zhuǎn)角或撓度可以確定連續(xù)條件在梁的彎矩方程分段處，截面轉(zhuǎn)角相等，撓度相等。若梁分為n段積分，則要出現(xiàn)2n個(gè)待定常數(shù)，總可找到2n個(gè)相應(yīng)的邊界條件或連續(xù)條件將其確定。例4-5如圖等直懸臂梁自由端受集中力作用，建立該梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，并求自由端的轉(zhuǎn)角和撓度。（1）按照?qǐng)D示坐標(biāo)系建立彎矩方程請(qǐng)同學(xué)們自

8、己做一下（時(shí)間:1分鐘）（2）撓曲線近似微分方程（3）積分（4）確