分?jǐn)?shù)的速算與巧算1

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1、分?jǐn)?shù)的速算與巧算(1)一、裂項(xiàng)綜合（一）、“裂差”型運(yùn)算(1)對(duì)于分母可以寫(xiě)作兩個(gè)因數(shù)乘積的分?jǐn)?shù)，即形式的，這里我們把較小的數(shù)寫(xiě)在前面，即，那么有(2)對(duì)于分母上為3個(gè)或4個(gè)連續(xù)自然數(shù)乘積形式的分?jǐn)?shù)，即：，形式的，我們有：裂差型裂項(xiàng)的三大關(guān)鍵特征：（1）分子全部相同，最簡(jiǎn)單形式為都是1的，復(fù)雜形式可為都是x(x為任意自然數(shù))的，但是只要將x提取出來(lái)即可轉(zhuǎn)化為分子都是1的運(yùn)算。（2）分母上均為幾個(gè)自然數(shù)的乘積形式，并且滿足相鄰2個(gè)分母上的因數(shù)“首尾相接”（3）分母上幾個(gè)因數(shù)間的差是一個(gè)定值。（二）、“裂和”型運(yùn)算：常見(jiàn)的裂和

2、型運(yùn)算主要有以下兩種形式：（1）（2）裂和型運(yùn)算與裂差型運(yùn)算的對(duì)比：裂差型運(yùn)算的核心環(huán)節(jié)是“兩兩抵消達(dá)到簡(jiǎn)化的目的”，裂和型運(yùn)算的題目不僅有“兩兩抵消”型的，同時(shí)還有轉(zhuǎn)化為“分?jǐn)?shù)湊整”型的，以達(dá)到簡(jiǎn)化目的。三、整數(shù)裂項(xiàng)(1)(2)例題精講模塊一、分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)【例1】【解析】原式【鞏固】【解析】原式【例2】計(jì)算：．【解析】如果式子中每一項(xiàng)的分子都相同，那么就是一道很常見(jiàn)的分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)的題目．但是本題中分子不相同，而是成等差數(shù)列，且等差數(shù)列的公差為2．相比較于2，4，6，……這一公差為2的等差數(shù)列(該數(shù)列的第個(gè)數(shù)恰好為的2倍)，原式中

3、分子所成的等差數(shù)列每一項(xiàng)都比其大3，所以可以先把原式中每一項(xiàng)的分子都分成3與另一個(gè)的和再進(jìn)行計(jì)算．原式也可以直接進(jìn)行通項(xiàng)歸納．根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可知分子的通項(xiàng)公式為，所以，再將每一項(xiàng)的與分別加在一起進(jìn)行裂項(xiàng)．后面的過(guò)程與前面的方法相同．【鞏固】計(jì)算：【解析】本題的重點(diǎn)在于計(jì)算括號(hào)內(nèi)的算式：．這個(gè)算式不同于我們常見(jiàn)的分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)的地方在于每一項(xiàng)的分子依次成等差數(shù)列，而非常見(jiàn)的分子相同、或分子是分母的差或和的情況．所以應(yīng)當(dāng)對(duì)分子進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危怪D(zhuǎn)化成我們熟悉的形式．觀察可知，，……即每一項(xiàng)的分子都等于分母中前兩個(gè)乘數(shù)的和，所

4、以　　　　所以原式．【鞏固】計(jì)算：【解析】觀察可知原式每一項(xiàng)的分母中如果補(bǔ)上分子中的數(shù)，就會(huì)是5個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積，所以可以先將每一項(xiàng)的分子、分母都乘以分子中的數(shù)．即：原式現(xiàn)在進(jìn)行裂項(xiàng)的話無(wú)法全部相消，需要對(duì)分子進(jìn)行分拆，考慮到每一項(xiàng)中分子、分母的對(duì)稱性，可以用平方差公式：，，……【解析】原式【例1】【解析】原式【例2】【解析】本題為典型的“隱藏在等差數(shù)列求和公式背后的分?jǐn)?shù)裂差型裂項(xiàng)”問(wèn)題。此類(lèi)問(wèn)題需要從最簡(jiǎn)單的項(xiàng)開(kāi)始入手，通過(guò)公式的運(yùn)算尋找規(guī)律。從第一項(xiàng)開(kāi)始，對(duì)分母進(jìn)行等差數(shù)列求和運(yùn)算公式的代入有，，……，原式【鞏固】原

5、式＝＋＋＋＋…＋＝（）＋（）＋（）＋（）＝