洛必達(dá)L’Hospital法則

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1、第二節(jié)洛必達(dá)(L’Hospital)法則洛必達(dá)法則是求0/0,∞/∞,0*∞,∞-∞,1∞,00,∞0類型極限的有力工具.定理1(0/0型)假設(shè)證明:我們補(bǔ)充定義f(a)=g(a)=0,有在區(qū)間[a,x]或[x,a]上應(yīng)用柯西中值定理定理1又稱為洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則是求不定式極限的一個(gè)有效方法.掌握這個(gè)法則沒有什么困難,但是需要注意以下問題:(1)只有不定式極限問題才能夠運(yùn)用洛必達(dá)法則,非不定式極限要用四則運(yùn)算或其他方法.對于不定式極限,若干次運(yùn)用羅比達(dá)法則以后如果已經(jīng)化為非不定式,就不能繼續(xù)運(yùn)用洛必達(dá)法則,否則就會出現(xiàn)錯(cuò)誤.例1求下列極限解:(1)是0/0型的,用洛必達(dá)法則,得到(

2、2)是∞0型的,可以化為0/0型.例2求極限解此0/0型，連用三次洛必達(dá)法則可得到結(jié)果。在使用洛必達(dá)法則時(shí)，必須要檢查是否是0/0型的。在計(jì)算中常犯的錯(cuò)誤是沒有滿足0/0的條件。函數(shù)f(x)與g(x)在點(diǎn)a的某鄰域內(nèi)(點(diǎn)a可以除外)都可導(dǎo),且g’(x)≠0定理2設(shè)：例3求函數(shù)的極限解：對于其他的形式可以通過恒等變形,化為基本型.可使用洛必達(dá)法則求極限.例4求下列極限例5求下列極限:解：(1)令y=xx,則lny=xlnx,再取極限,得到也可以在使用洛必達(dá)法則時(shí),如果把等階無窮小代換,代數(shù),三角運(yùn)算和洛必達(dá)法則結(jié)合起來,可以簡化運(yùn)算過程.例6注意(4):洛必達(dá)法則使用前后都應(yīng)注意分離因

3、式,把具有非零極限的因子提出極限號外,并及時(shí)求出極限,再對余下未定式求極限.例7求注意(5):有些不定式,運(yùn)用洛必達(dá)法則不能得到結(jié)果,但是這不能說明該不定式的極限不存在,因?yàn)槁灞剡_(dá)法則是極限存在的充分條件.例如當(dāng)x→∞時(shí),是,但是如果用洛必達(dá)法則,則得不出結(jié)果顯然有.型不定式