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《2010-2012“華約”自主招生數(shù)學(xué)試題及參考解答》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、2010年高水平大學(xué)自主選拔學(xué)業(yè)能力測試（華約）數(shù)學(xué)部分一、選擇題1．設(shè)復(fù)數(shù)，其中為實數(shù)，若的實部為2，則的虛部為（）（A）（B）（C）（D）2．設(shè)向量，滿足，則的最小值為（）（A）2（B）（C）1（D）3．已知平面α//平面β，直線，點與平面α的夾角為，，AB與m的夾角為，則m與n的夾角為（）．（A）n/3（B）n/4（C）n/6（D）n/84．正四棱錐P-ABCD中，B1為PB的中點，D1為PD的中點，則兩個棱錐A-B1CD1與P-ABCD的體積之比（）．（A）1:6（B）1:5（C）1：4（D）1:35．在中，三邊長，滿足，則的值為（）（A）（B）（C）（D）6．
2、如圖，的兩條高線交于，其外接圓圓心為，過作垂直于，與相交于，則與面積之比為（）（A）（B）（C）（D）7．設(shè)．過點且平行于軸的直線與曲線的交點為，曲線過點的切線交軸于點，則的面積的最小值是（）（A）1（B）（C）（D）208．設(shè)雙曲線，橢圓．若的短軸長與的實軸長的比值等于的離心率，則在的一條準線上截得線段的長為（）（A）（B）2（C）（D）49．欲將正六邊形的各邊和各條對角線都染為種顏色之一，使得以正六邊形的任何3個頂點作為頂點的三角形有3種不同顏色的邊，并且不同的三角形使用不同的3色組合，則的最小值為（）（A）6（B）7（C）8（D）910．設(shè)定點是以點為中心的正四面
3、體的頂點，用表示空間以直線為軸滿足條件的旋轉(zhuǎn)，用表示空間關(guān)于所在平面的鏡面反射，設(shè)為過中點與中點的直線，用表示空間以為軸的180°旋轉(zhuǎn)．設(shè)表示變換的復(fù)合，先作，再作。則可以表示為（）（A）（B）（C）（D）二、解答題11．在中，已知，外接圓半徑．（Ⅰ）求角的大?。唬á颍┣竺娣e的最大值．12．設(shè)為拋物線上不同的四點，關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱，平行于該拋物線在點處的切線．設(shè)到直線，直線的距離分別為，已知．（Ⅰ）判斷是銳角三角形直角三角形鈍角三角形中的哪一種三角形，并說明理由；（Ⅱ）若的面積為240，求點的坐標及直線的方程．13．（Ⅰ）正四棱錐的體積，求正四棱錐的表面積的最小
4、值；（Ⅱ）一般地，設(shè)正棱錐的體積為定值，試給出不依賴于的一個充分必要條件，使得正棱錐的表面積取得最小值．14．假定親本總體中三種基因型式：的比例為且數(shù)量充分多，參與交配的親本是該總體中隨機的兩個．（Ⅰ）求子一代中，三種基因型式的比例；20（Ⅱ）子二代的三種基因型式的比例與子一代的三種基因型式的比例相同嗎？并說明理由．15．設(shè)函數(shù)，且存在函數(shù)，滿足．（Ⅰ）證明：存在函數(shù)滿足；（Ⅱ）設(shè)證明：．202010年五校合作自主選拔通用基礎(chǔ)測試數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題ADBCCABDBD二、解答題11．解：（Ⅰ）由得所以即因為為內(nèi)角所，，（Ⅱ）又由余弦定理得，即又，所以有，當且僅當即為
5、等邊三角形時，的面積取得最大值12．解：（Ⅰ）設(shè)則由可知的斜率20因此可以設(shè)直線方程為把代入，整理得所以因為都不平行于軸，所以直線斜率之和為可知直線的傾角互補，而平行于軸，所以平分作為垂足則可得由已知，可得，所以所以為直角三角形（Ⅱ）如圖，根據(jù)的結(jié)果，可以設(shè)直線的方程分別為把分別代入，得所以由已知可知，所以解得，所以或20當取時，求得，又斜率，所以直線方程為,即同理，當取時，直線方程為13．解：（Ⅰ）設(shè)正四棱錐的底面正方形的邊長為，高為．則正四棱錐的體積正四棱錐的表面積從而令設(shè)則令解得當時，當時，當時取得最小值正四棱錐的表面積的最小值為4.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當時，正棱錐
6、的表面積取得最小值。由于正棱錐的表面積與底面機之比為可知使正棱錐的表面積取得最小值得一個充分必要條件是正棱錐的表面積是地面積的4倍。14、解：（Ⅰ）參與交配的兩個親本（一個稱為父本，一個稱為母本）的基因型式的情況，及相應(yīng)情況發(fā)生的概率和相應(yīng)情況下子一代的基因型式為，，的概率如下表：父本、母本的基因型式相應(yīng)情況出現(xiàn)的概率子一代基因為的概率子一代基因為的概率子一代基因為的概率父母父母父母父母父母20父母父母父母父母子一代的基因型式為的概率為.由對稱性知子一代的基因型式為的概率為.子一代的基因型式為的概率為若記，，則，，，子一代三種基因型式：，，的比例為.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知子
7、二代的基因型式為，，的比例為，其中，.由，可得，.故子二代三種基因型式，，的比例為，與子一代基因型式的比例相同.15解：（Ⅰ）令，代入化簡得由于等式對所有成立，可知20解得令，代入，化簡得所以存在，使得（Ⅱ）令注意到，由（Ⅰ）知，化為可知從而統(tǒng)一寫為從而有202011年高水平大學(xué)自主選拔學(xué)業(yè)能力測試（華約）數(shù)學(xué)部分注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題1．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足
8、z
9、<1且則
10、z
11、＝()2．在正四棱錐P－ABC
