“華約”自主招生數(shù)學(xué)試題及解答(2010-2012).pdf

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1、2010年“華約”自主招生試題解析一、選擇題ai?21．設(shè)復(fù)數(shù)w?()，其中a為實(shí)數(shù)，若w的實(shí)部為2，則w的虛部為（）1?i3113（A）?（B）?（C）（D）22222．設(shè)向量ab,，滿足

2、

3、

4、

5、1,a?b?abm??，則

6、

7、atb?()tR?的最小值為（）22（A）2（B）1?m（C）1（D）1?m3。缺4。缺AC5．在?ABC中，三邊長(zhǎng)abc,,，滿足ac??3b，則tantan的值為（）221112（A）（B）（C）（D）54236．如圖，?ABC的兩條高線ADBE,交于H，其外接圓圓心為O，過O作OF垂直

8、BC于F，OH與AF相交于G，則?OFG與?GAH面積之比為（）（A）1:4（B）1:3（C）2:5（D）1:2ax7．設(shè)fx()e(??a0)．過點(diǎn)Pa(,0)且平行于y軸的直線與曲線Cy:?fx()的交點(diǎn)為Q，曲線C過點(diǎn)Q的切線交x軸于點(diǎn)R，則?PQR的面積的最小值是（）22eee（A）1（B）（C）（D）2242222xyxy8．設(shè)雙曲線C:??ka(?2,k?0)，橢圓C:1??．若C的短軸長(zhǎng)與C的實(shí)軸長(zhǎng)122221a4a4的比值等于C的離心率，則C在C的一條準(zhǔn)線上截得線段的長(zhǎng)為（）212（A）22?k（B

9、）2（C）44?k（D）49．欲將正六邊形的各邊和各條對(duì)角線都染為n種顏色之一，使得以正六邊形的任何3個(gè)頂點(diǎn)作為頂點(diǎn)的三角形有3種不同顏色的邊，并且不同的三角形使用不同的3色組合，則n的最小值為（）（A）6（B）7（C）8（D）910．設(shè)定點(diǎn)ABCD、、、是以O(shè)點(diǎn)為中心的正四面體的頂點(diǎn)，用?表示空間以直線OA為軸滿足條件?()BC?的旋轉(zhuǎn)，用?表示空間關(guān)于OCD所在平面的鏡面反射，設(shè)l為過AB中點(diǎn)與CD中點(diǎn)的直線，用?表示空間以l為軸的180°旋轉(zhuǎn)．設(shè)??表示變換的復(fù)合，先作?，再作?。則?可以表示為（）（A）??

10、???（B）??????（C）?????（D）??????二、解答題11．2AB?在?ABC中，已知2sin??cos2C1，外接圓半徑R?2．2（Ⅰ）求角C的大?。唬á颍┣?ABC面積的最大值．12．2設(shè)ABCD、、、為拋物線xy?4上不同的四點(diǎn)，AD,關(guān)于該拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，BC平行于該拋物線在點(diǎn)D處的切線l．設(shè)D到直線AB，直線AC的距離分別為dd,，已知d??d2AD．1212（Ⅰ）判斷?ABC是銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形中的哪一種三角形，并說明理由；（Ⅱ）若?ABC的面積為240，求點(diǎn)A的坐標(biāo)及

11、直線BC的方程．13．2（Ⅰ）正四棱錐的體積V?，求正四棱錐的表面積的最小值；3（Ⅱ）一般地，設(shè)正n棱錐的體積V為定值，試給出不依賴于n的一個(gè)充分必要條件，使得正n棱錐的表面積取得最小值．14．假定親本總體中三種基因型式：AAAaaa,,的比例為u:2:vw(u?0,v?0,w?0,u?2vw??1)且數(shù)量充分多，參與交配的親本是該總體中隨機(jī)的兩個(gè)．（Ⅰ）求子一代中，三種基因型式的比例；（Ⅱ）子二代的三種基因型式的比例與子一代的三種基因型式的比例相同嗎？并說明理由．15．xm?12ts??121設(shè)函數(shù)fx()?，且

12、存在函數(shù)s???t??atbt?(?,a?0)，滿足f()?．x?12ts2st??121（Ⅰ）證明：存在函數(shù)t??()s?csds?(?0),滿足f()?；st1（Ⅱ）設(shè)x?3,x?fx(),n?1,2,.證明：x??2．11nn?nn?132010年五校合作自主選拔通用基礎(chǔ)測(cè)試數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題ADCABDBD二、解答題2AB?11．解：（Ⅰ）由2sin??cos2C1得22C2cos???1cos2,C22所以cosC??(2cos?1).2即2cosCC?cos??10(2cosCC?1)(cos?1)

13、0?因?yàn)镃為?ABC內(nèi)角所cosC??10，1cosC?，2?C?.33（Ⅱ）c?2sinRC?4?23.2222又由余弦定理得c?a?b?2abcos,C，22即12?a?b?ab,22又a?b?ab?2,ababab??，所以ab?12.133有S?absinC?ab?1233,?，ABC244當(dāng)且僅當(dāng)ab?即ABC為等邊三角形時(shí)，ABC的面積取得最大值33.12．解：121212（Ⅰ）設(shè)Ax(,x),(,Bxx),(,Cxx),00112244412則D(?x,x)004'11由yx?可知的斜率kx??,02

14、21因此可以設(shè)直線BC方程為y??xxb?.02122把yx?代入，整理得x?2xx?4b?0,04所以x?x??2x120因?yàn)锳B,AC都不平行于y軸，所以直線AB,AC斜率之和為112222(x??x)(xx)102044k?k???(x?x?2)x?0ABAC120x??xxx1020可知直線ABAC,的傾角互補(bǔ)，而AD平行于x軸，所以AD平分?CAB