2010年“華約”自主招生數(shù)學(xué)試題及解答

《2010年“華約”自主招生數(shù)學(xué)試題及解答》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

1、2010年“華約”自主招生試題解析一、選擇題1．設(shè)復(fù)數(shù)，其中為實數(shù)，若的實部為2，則的虛部為（）（A）（B）（C）（D）2．設(shè)向量，滿足，則的最小值為（）（A）2（B）（C）1（D）3。缺4。缺5．在中，三邊長，滿足，則的值為（）（A）（B）（C）（D）6．如圖，的兩條高線交于，其外接圓圓心為，過作垂直于，與相交于，則與面積之比為（）（A）（B）（C）（D）7．設(shè)．過點且平行于軸的直線與曲線的交點為，曲線過點的切線交軸于點，則的面積的最小值是（）（A）1（B）（C）（D）8．設(shè)雙曲線，橢圓．若的短軸長與的實軸長的比值等于的

2、離心率，則在的一條準(zhǔn)線上截得線段的長為（）（A）（B）2（C）（D）49．欲將正六邊形的各邊和各條對角線都染為種顏色之一，使得以正六邊形的任何3個頂點作為頂點的三角形有3種不同顏色的邊，并且不同的三角形使用不同的3色組合，則的最小值為（）（A）6（B）7（C）8（D）910．設(shè)定點是以點為中心的正四面體的頂點，用表示空間以直線為軸滿足條件的旋轉(zhuǎn)，用表示空間關(guān)于所在平面的鏡面反射，設(shè)為過中點與中點的直線，用表示空間以為軸的180°旋轉(zhuǎn)．設(shè)表示變換的復(fù)合，先作，再作。則可以表示為（）（A）（B）（C）（D）二、解答題11．在中

3、，已知，外接圓半徑．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求面積的最大值．12．設(shè)為拋物線上不同的四點，關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱，平行于該拋物線在點處的切線．設(shè)到直線，直線的距離分別為，已知．（Ⅰ）判斷是銳角三角形直角三角形鈍角三角形中的哪一種三角形，并說明理由；（Ⅱ）若的面積為240，求點的坐標(biāo)及直線的方程．13．（Ⅰ）正四棱錐的體積，求正四棱錐的表面積的最小值；（Ⅱ）一般地，設(shè)正棱錐的體積為定值，試給出不依賴于的一個充分必要條件，使得正棱錐的表面積取得最小值．14．假定親本總體中三種基因型式：的比例為且數(shù)量充分多，參與交配的親本是該

4、總體中隨機的兩個．（Ⅰ）求子一代中，三種基因型式的比例；（Ⅱ）子二代的三種基因型式的比例與子一代的三種基因型式的比例相同嗎？并說明理由．15．設(shè)函數(shù)，且存在函數(shù)，滿足．（Ⅰ）證明：存在函數(shù)滿足；（Ⅱ）設(shè)證明：．2010年五校合作自主選拔通用基礎(chǔ)測試數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題ADCABDBD二、解答題11．解：（Ⅰ）由得所以即因為為內(nèi)角所，，（Ⅱ）又由余弦定理得，即又，所以有，當(dāng)且僅當(dāng)即為等邊三角形時，的面積取得最大值12．解：（Ⅰ）設(shè)則由可知的斜率因此可以設(shè)直線方程為把代入，整理得所以因為都不平行于軸，所以直線斜率之和為可知直

5、線的傾角互補，而平行于軸，所以平分作為垂足則可得由已知，可得，所以所以為直角三角形（Ⅱ）如圖，根據(jù)的結(jié)果，可以設(shè)直線的方程分別為把分別代入，得所以由已知可知，所以解得，所以或當(dāng)取時，求得，又斜率，所以直線方程為,即同理，當(dāng)取時，直線方程為13．解：（Ⅰ）設(shè)正四棱錐的底面正方形的邊長為，高為．則正四棱錐的體積正四棱錐的表面積從而令設(shè)則令解得當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時取得最小值正四棱錐的表面積的最小值為4.（Ⅱ）一般地，設(shè)正棱錐的底面正邊形的中心到各邊的距離為，高為，則正邊形的體積正棱錐的表面積由（Ⅰ）知，當(dāng)時，正棱錐的表面積取得最小值

6、。由于正棱錐的表面積與底面機之比為可知使正棱錐的表面積取得最小值得一個充分必要條件是正棱錐的表面積是地面積的4倍。解：（Ⅰ）參與交配的兩個親本（一個稱為父本，一個稱為母本）的基因型式的情況，及相應(yīng)情況發(fā)生的概率和相應(yīng)情況下子一代的基因型式為，，的概率如下表：父本、母本的基因型式相應(yīng)情況出現(xiàn)的概率子一代基因為的概率子一代基因為的概率子一代基因為的概率父母父母父母父母父母父母父母父母父母子一代的基因型式為的概率為.由對稱性知子一代的基因型式為的概率為.子一代的基因型式為的概率為若記，，則，，，子一代三種基因型式：，，的比例為.

7、（Ⅱ）由（Ⅰ）可知子二代的基因型式為，，的比例為，其中，.由，可得，.故子二代三種基因型式，，的比例為，與子一代基因型式的比例相同.15解法一：（Ⅰ）令，代入化簡得由于等式對所有成立，可知解得令，代入，化簡得所以存在使得（Ⅱ）令注意到，由（Ⅰ）知，化為可知從而統(tǒng)一寫為從而有解法二：（Ⅰ）同解法一，可求出取則所以（Ⅱ）由，得（1）把（1）式兩邊都加上2得：（2）把（1）式兩邊都減去2得：（3）若存在，使，由（3）可知與矛盾所以不存在，使（2）式除以（3）式得因為所以所以所以所以解法三：（Ⅰ）由解法一得，由（1）易看出（1）式

8、中即得所以存在，即（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法（1）當(dāng)時，顯然成立（2）易得，（※）假設(shè)當(dāng)時，命題成立即則當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，只需證即證即證即證即證即，而此式是假設(shè)成立的所以（2）成立由（1），（2）可知，原命題成立