解析幾何講義

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1、第一章向量與坐標解析幾何的基本思想是用代數(shù)的方法來研究幾何，從而把幾何問題的討論，由定性的研究推進到可以計算的定量層面.為了把代數(shù)的方法引入到幾何中來，首先必須把空間的幾何結(jié)構(gòu)代數(shù)化，這是解析幾何的基礎(chǔ).本章的主要目的是系統(tǒng)地介紹向量代數(shù)的基本知識，這實質(zhì)上就是一個使空間結(jié)構(gòu)代數(shù)化的過程.向量雖然不是數(shù)，但是可以像數(shù)那樣去運算，因此在幾何中引進了向量，就把代數(shù)運算帶到幾何中來了，從而使我們可以利用向量代數(shù)的方法來研究幾何問題。本章的知識結(jié)構(gòu)為：向量的概念→→標架與坐標→§1.1向量的概念一、有關(guān)概念1.向

2、量既有大小又有方向的量叫做向量，或稱為矢量，簡稱矢.而只有大小的量叫做數(shù)量，或稱為標量.2.向量的表示用有向線段來表示向量，有向線段的始點與終點分別叫做向量的始點與終點，有向線段的方向表示向量的方向，有向線段的長度代表向量的大小.用,a,,…或黑體字a,x,…來記向量.3.向量的模向量的大小稱為向量的模，亦稱長度.用

3、

4、，

5、a

6、，

7、

8、，

9、a

10、，

11、x

12、,…來表示.二、特殊向量1.零向量0：模為零，方向不定.2.單位向量a0：模為1，與向量a方向相同.三、向量間的關(guān)系1.平行向量：a,b所在直線平行,記作a/

13、/b.2.相等向量：模相等，方向相同.3.自由向量：始點任意，只由模與方向確定的向量.4.相反向量：模相等，方向相反.5.共線向量：平行于同一直線的一組向量.6.共面向量：平行于同一平面的一組向量.7.固定向量:在解析幾何的大多數(shù)問題里，只有向量的長度和方向發(fā)揮主要作用，而與它的起點無關(guān)，即為自由向量.在個別情形下，有時我們只把有同一起點且相等的向量才看作相等向量，亦即兩向量完全重合時才看作相等，這樣規(guī)定的向量叫做固定向量.需要注意，在應(yīng)用科學中起點位置不同，所產(chǎn)生的作用也會不同，如圖1-1，同樣的力由于

14、f作用點M1和M2的不同，效果也會不同.例1.設(shè)在平面上給了一個四邊形ABCD，點K、L、M、N分別是邊ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中點，求證：KL=NM.當ABCD是空間四邊形時，這等式是否也成立？證明：如圖1-2，連結(jié)AC,則在DBAC中，KLAC.與方向相同；在DDAC中，NMAC.與方向相同，從而KL＝NM且與方向相同，所以＝.由于上述證明不受ABCD是平面四邊形或空間四邊形的影響，即證明過程中并未用到ABCD必須是平面四邊形的限制，故等式對空間情形也成立.例2.回答下列問題：(1)若向量a//b，b

15、//c,則是否有a//c？(2)若向量a,b,c共面，c,,也共面，則a,c,是否也共面？(3)若向量a,b,c中a//b，則a,b,c是否共面？(4)若向量，共線，在什么條件下，也共線？解：(1)由a//b可知，a,b所在直線相互平行，同理b,c所在直線相互平行，從而a,c所在直線相互平行，從而有a//c；(2)a,c,不一定共面.只有當a,b,c,,五向量全部在同一平面上時a,c,共面，否則a,c,不共面；(3)a//b,a,c二向量必共面，從而a,b,c必共面；(4)只有當ABDC組成平行四邊形，即

16、＝時,才共線.作業(yè)題：1.設(shè)點O是正六邊形ABCDEF的中心，在向量、、、、、、、、、、和中，哪些向量是相等的？2.如圖1-3，設(shè)ABCD-EFGH是一個平行六面體，在下列各對向量中，找出相等的向量和互為相反向量的向量：(1)、;(2)、;(3)、;(4)、;(5)、.§1.2向量的加法一、概念1.兩個例子物理學中的力與位移都是向量.兩個不共線的力作用于一點的合力，可用“平行四邊形法則”求得，如圖1-4,兩個力、的合力，就是以、為鄰邊的平行四邊形OACB的對角線向量.兩個位移的合成可以用“三角形法則”求出

17、，如圖1-5,連續(xù)兩次位移與的結(jié)果,相當于位移.2.向量的加法法則(1)三角形法則設(shè)已知向量、，以空間任意一點O為始點接連作向量＝,＝得一折線OAB，從折線的端點O到另一端點B的向量＝，叫做兩向量與的和，記做＝+.(2)平行四邊形法則如果以兩個向量、為鄰邊組成一個平行四邊形OACB，那么對角線向量＝+叫做向量與的和.二、性質(zhì)1.運算規(guī)律(1)交換律+＝+;(2)結(jié)合律(+)+＝+(+);(3)+＝;(4)+(－)＝.2.向量加法的多邊形法則有限個向量,,…,相加，自任意點O開始，依次作＝,＝,…,＝，得一

18、折線OA1A2…An，于是向量＝就是n個向量,,…,的和＝++…+,即＝++…+.特別地,當An與O重合時，＝＝.3.向量減法(1)設(shè)向量與的和等于向量，即+＝，那么向量叫做向量與的差，記做＝－，由向量與求它們的差－的運算叫做向量減法.(2)減去一個向量等于加上它的相反向量，即有－＝+(－)4.三角不等式(1)

19、+

20、≤

21、

22、+

23、

24、,

25、-

26、≥

27、

28、-

29、

30、;證明：如圖1-4,

31、+

32、=

33、

34、，

35、

36、+

37、

38、＝

39、

40、+

41、

42、，

43、-

44、=

45、

46、；根據(jù)“三