常微分方程考研講義第四章 高階微分方程

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1、第四章高階微分方程[教學(xué)目標(biāo)]1.理解高階線性微分方程的一般理論，n階齊次（非齊次）線性微分方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)，熟練掌握n階常系數(shù)齊次線性微分方程的待定指數(shù)函數(shù)解法。2.掌握n階非齊次線性微分方程的常數(shù)變易法，理解n階常系數(shù)非齊次線性微分方程特解的待定系數(shù)法和Laplce變換法。3.熟練歐拉方程與高階方程的降階法和冪級數(shù)解法。4.掌握高階方程的應(yīng)用。[教學(xué)重難點]重點是線性微分方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)，高階方程的各種解法。難點是待定系數(shù)法求特解。[教學(xué)方法]講授，實踐。[教學(xué)時間]16學(xué)時[教學(xué)內(nèi)容]線性

2、微分方程的一般理論，齊次（非齊次）線性微分方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)，非齊次線性微分方程的常數(shù)變量易法；常系數(shù)線性方程與歐拉方程的解法，非齊線性方程的比較系數(shù)法與拉氏變換法；高階方程的降階法和冪級數(shù)解法及高階方程的應(yīng)用。[考核目標(biāo)]1.理解高階線性微分方程的一般理論，能夠求解高階常系數(shù)線性微分方程。2.掌握n階非齊次線性微分方程的常數(shù)變易法。3.n階常系數(shù)非齊次線性微分方程特解的待定系數(shù)法和Laplce變換法。4.熟練高階方程的降階法和冪級數(shù)解法及高階方程的應(yīng)用?！?.1線性微分方程的一般理論4.1.1引言

3、討論階線性微分方程（4.1）其中及都是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)如果，則方程（4.1）變?yōu)椋海?.2）稱它為階齊線性微分方程，而稱一般的方程（4.1）為階非齊線性微分方程，并且通常把方程（4.2）叫對應(yīng)于方程（4.1）的齊線性方程。定理1如果及都是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，則對于任一，方程（4.1）存在唯一解，定義于區(qū)間上，且滿足初始條件：（4.3）從這個定理可以看出，初始條件唯一地確定了方程（4.1）的解，而且這個解在所有及連續(xù)的整個區(qū)間上有定義。4.1.2齊線性方程的解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)討論齊線性方程（4.2）定理2（

4、疊加原理）如果是方程（4.2）的個解，則它們的線性組合也是（4.2）的解，這里是任意常數(shù)。特別地，當(dāng)時，即方程（4.2）有解（4.4）它含有個任意常數(shù)。在什么條件下，表達式（4.4）能夠成為階齊線性方程（4.2）的通解？為了討論的需要，引進函數(shù)線性相關(guān)與線性無關(guān)及伏朗斯基行列式等概念。設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，如果存在不全為零的常數(shù)，使得恒等式對于所有都成立，稱這些函數(shù)是線性相關(guān)的，否則稱這些函數(shù)在所給區(qū)間上線性無關(guān),即當(dāng)且僅當(dāng)時,上述恒等式才成立,稱這些函數(shù)在所給區(qū)間上線性無關(guān)。由此定義不難推出如下

5、的兩個結(jié)論：1)在函數(shù)組中如果有一個函數(shù)為零，則在上線性相關(guān).2)如果兩個函數(shù)之比在有定義，則它們在上線性無關(guān)等價于比式在上不恒等于常數(shù).例1函數(shù)組在任意區(qū)間上都是線性無關(guān)的.解比式=不恒等于常數(shù)在任意區(qū)間上成立：例2函數(shù)組在區(qū)間上線性相關(guān).解若取則故已知函數(shù)組在上線性相關(guān).設(shè)函數(shù)在區(qū)間上均有階導(dǎo)數(shù),行列式稱為這些函數(shù)的伏朗斯基行列式。定理3若函數(shù)在區(qū)間上線性相關(guān)，則在上它們的伏朗斯基行列式。證明：由假設(shè)，即知存在一組不全為零的常數(shù)，使得（4.6）依次對微分此恒等式，得到（4.7）把（4.6）和（4

6、.7）看成關(guān)于的齊次線性代數(shù)方程組，它的系數(shù)行列式就是，由線性代數(shù)的理論知道，要此方程組存在非零解，則它的系數(shù)行列式必須為零，即。反之，其逆定理一般不成立。例如函數(shù)和在區(qū)間上，，但在此區(qū)間上卻是線性無關(guān)的。因為，假設(shè)存在恒等式（4.8）則當(dāng)時，可知；當(dāng)時，可知.即當(dāng)且僅當(dāng)時，(4.8)式對一切成立.故是線性無關(guān)的.推論1如果函數(shù)組的朗斯基行列式在區(qū)間上某一點處不等于零，即，則該函數(shù)組在上線性無關(guān).但是，如果是齊線性方程（4.2）的解，那么就有下面的定理：定理4如果方程（4.2）的解在區(qū)間上線性無關(guān)，

7、則在這個區(qū)間的任何點上都不等于零，即。證明：采用反證法。設(shè)有某個，，使得。考慮關(guān)于的齊次線性代數(shù)方程組（4.9）其系數(shù)行列式，故（4.9）有非零解?，F(xiàn)以這組常數(shù)構(gòu)造函數(shù)根據(jù)疊加原理，是方程（4.2）的解。注意到（4.9），知道這個解滿足初始條件（4.10）但是顯然也是方程（4.2）的滿足初始條件（4.10）的解。由解的唯一性，即知，即因為不全為0，這就與線性無關(guān)的假設(shè)矛盾，定理得證。推論2設(shè)是方程（4.2）定義在上的個解，如果存在，使得它的朗斯基行列式,則該解組在上線性相關(guān).推論3方程（4.2）的個

8、解在其定義區(qū)間上線性無關(guān)的充要條件是，存在，使得它的朗斯基行列式.定理5階齊線性方程（4.2）一定存在個線性無關(guān)的解。定理6（通解結(jié)構(gòu)定理）如果是方程（4.2）的個線性無關(guān)的解，則方程（4.2）的通解可表為（4.11）其中，是任意常數(shù)，且通解（4.11）包括了方程（4.2）的所有解。證明：由疊加原理知道（4.11）是（4.2）的解，它包含有個任意常數(shù)。這些常數(shù)是彼此獨立的。事實上，因此，（4.11）為方程（4.2）的通解；現(xiàn)在，我們證明它包括不方程的所有解。由定理1，