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《常微分方程--第四章 高階微分方程(4.1節(jié).ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、本章重點(diǎn)講述：A線性微分方程的基本理論；B常系數(shù)線性方程的解法；C某些高階方程的降階和二階方程的冪級(jí)數(shù)解法。對于二階及二階以上的微分方程的解包括基本理論和求解方法。這部分內(nèi)容有兩部分：1、線性微分方程（組）：在第四、五章討論2、非線性微分方程（組）：在第六章簡單介紹§4.1線性微分方程的一般理論第四章高階微分方程一、引言n階線性微分方程一般形式:稱(4.2)為n階齊次線性微分方程，簡稱齊次線性方程，而(4.1)稱為n階非齊次線性微分方程，簡稱非齊次線性方程。把(4.2)叫做對應(yīng)于方程(4.1)的齊次線性微分方程。其中及都是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)如果，則方程變?yōu)槠渲屑岸际菂^(qū)間
2、上的連續(xù)函數(shù)其中及都是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)如果，則方程變?yōu)槿绻?，則方程變?yōu)槎ɡ?（方程(4.1)的解的存在唯一性定理）如果及都是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，則對于任一及任意的，方程(4.1)存在唯一解，定義于區(qū)間上，且滿足初值條件定理2（疊加原理）如果二、齊次線性微分方程的解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)是方程(4.2)的k個(gè)解，則它們的線性組合也是方程（4.2）的解，這里為任意常數(shù)。特別地，當(dāng)時(shí)，即方程（4.2）有解它含有個(gè)任意常數(shù)，問題：它是n階齊次線性方程（4.2）的通解嗎？線性相（無）關(guān)、朗斯基(Wronsky)行列式線性相（無）關(guān)的定義如果存在不全為零的常數(shù)，使得定義在區(qū)間上的函數(shù)對于所有
3、都成立，則稱這些函數(shù)是線性相關(guān)的，否則稱這些函數(shù)在所給區(qū)間上線性無關(guān)。例如在任何區(qū)間上都是線性無關(guān)的；在任何區(qū)間上都是線性相關(guān)的；在任何區(qū)間上都是線性相關(guān)的。朗斯基行列式的定義稱為這些函數(shù)的朗斯基行列式定義k個(gè)k-1次可微的函數(shù)所成的行列式定理3若函數(shù)證明:由假設(shè)知，存在一組不全為零的常數(shù)依次對t微分得到下面的方程組在區(qū)間上線性相關(guān)，則在上它們的朗斯基行列式可以看成關(guān)于的齊次線性代數(shù)方程組，它的系數(shù)就是朗斯基行列式要使此方程組存在非零解，則它的系數(shù)行列式必須為零，即朗斯基行列式在區(qū)間[a,b]上為零。注意：上述定理的逆命題不成立。例如：設(shè)在區(qū)間上滿足，但它們在此區(qū)間上
4、卻是線性無關(guān)的。因?yàn)?，假設(shè)存在恒等式，則當(dāng)時(shí)，得；當(dāng)時(shí)，又可推得，所以線性無關(guān)。問題：如何應(yīng)用朗斯基行列式判定函數(shù)相關(guān)性？如果是齊次線性微分方程（4.2）的解，則有下述定理定理4：如果是齊次線性微分方程（4.2）的n個(gè)解，則它們在區(qū)間上線性無關(guān)的充分必要條件是朗斯基行列式在這個(gè)區(qū)間的任何點(diǎn)上都不等于零。n階齊次線性微分方程(4.2)的n個(gè)解構(gòu)成的朗斯基行列式或者恒為零，或者恒不為零；2.在是解的情況下，朗斯基行列式恒為零與這n個(gè)解線性相關(guān)等價(jià)；3.在是解的情況下，朗斯基行列式恒不為零與這n個(gè)解線性無關(guān)等價(jià)；4.一般情況下，上述結(jié)論不一定成立。說明：定理5n階齊次線性微
5、分方程(4.2)一定存在n個(gè)線性無關(guān)解。定理6（通解結(jié)構(gòu)定理）如果是方程(4.2)的n個(gè)線性無關(guān)解，則方程(4.2)的通解為其中是任意常數(shù)。且它包含了方程（4.2）的所有解。推論:方程（4.2）的線性無關(guān)解的最大個(gè)數(shù)是n;且n階齊次線性微分方程的所有解構(gòu)成一個(gè)n維線性空間。方程（4.2）的n個(gè)線性無關(guān)解稱為方程的一個(gè)基本解組。三、非齊次線性微分方程與常數(shù)變易法性質(zhì)1如果是方程(4.1)的解，而是對應(yīng)的齊線性方程(4.2)的解，則是非齊線性方程（4.1）的解。性質(zhì)2非齊線性方程（4.1）的任意兩個(gè)解之差是其對應(yīng)的齊線性方程（4.2）的解。性質(zhì)3設(shè)方程（4.1）的非齊次項(xiàng)
6、為，且與分別是方程的解，則是方程的解。注：該性質(zhì)稱為非齊線性方程的解的疊加原理定理7若是齊線性方程（4.2）則非齊線性方程（4.1）的通解可表為其中為任意常數(shù)，且它包括了方程的一個(gè)基本解組，而是非齊線性方程（4.1）的解，（4.1）的所有解。求解非齊線性方程（4.1）的常數(shù)變易法：設(shè)基本解組，則其通解可表示為是對應(yīng)的齊線性方程(4.1)的一個(gè)則非齊次線性方程的通解可由得出將所得代入到中，得非齊線性方程（4.1）的通解為解應(yīng)用常數(shù)變易法，令代入方程可得例1解得所以于是原方程通解為例2解對應(yīng)齊次方程方程可改寫為易得方程的通解為因此方程基本解組為容易計(jì)算得到原方程的通解為例
7、2首先將原方程改寫為（為什么要這樣？）設(shè)代入可得作業(yè)P1311,2,3（1）（3）（5）
