常微分方程3.5-高階微分方程.ppt

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1、機(jī)械振動(dòng)的模型一個(gè)彈簧，上端固定，下端掛一質(zhì)量為的物體。當(dāng)物體處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)（平衡位置）：作用在物體上的重力與彈性力大小相等，方向向反。向下的重力，彈簧向上的彈力，是彈簧受重力作用后向下拉伸的長(zhǎng)度，其中是彈簧的彈性系數(shù)，有。1為了研究物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，選取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，取軸垂直向下。當(dāng)物體處于平衡位置的時(shí)候，有，當(dāng)物體受到的外力作用時(shí)，從平衡位置開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，代表物體在時(shí)刻的位置，當(dāng)物體開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，受到下面4個(gè)力的作用:2(1)物體的重力W=mg，方向是向下的，與坐標(biāo)軸的方向一致。(4)物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中還受到隨時(shí)間變化的外力F(t)作用，方向可能不確定。依賴(lài)F(t)的正負(fù)。

2、彈力方向與運(yùn)動(dòng)方向相反。(2)彈簧的彈力，(3)空氣阻力D，阻力的大小與運(yùn)動(dòng)速度成正比，阻力系數(shù)為方向與運(yùn)動(dòng)方向相反，3因此物體的運(yùn)動(dòng)滿(mǎn)足二階線(xiàn)性微分方程(A).我們首先研究沒(méi)有空氣阻力和外力作用的彈簧振動(dòng)。令.方程的通解：4齊次方程通解改寫(xiě)為：取令。我們可以看到物體的運(yùn)動(dòng)：周期震動(dòng)：振幅是，初相位，振幅和初相位都依賴(lài)于初始條件的選擇。56(B).現(xiàn)在我們考慮有空氣阻力而沒(méi)有外力作用的彈簧震動(dòng)。方程的解：特征根：方程的通解改寫(xiě)為：方程的特征方程：當(dāng)，小阻尼自由振動(dòng)，7我們令方程的圖形:8(C)假如物體在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中既有空氣的阻力我們可以看出彈簧的震動(dòng)已經(jīng)不是周期的了，震動(dòng)的

3、最大偏離隨著時(shí)間的增加而不斷的減小，最后趨于平衡位置。又有周期外力作用，則彈簧震動(dòng)的方程：9方程的一個(gè)特解：因此方程的通解：令10這時(shí)方程的特解變?yōu)椋何覀兛梢钥闯鰪椈傻恼饎?dòng)由兩部分疊加而成。第一部分是有阻尼的自由震動(dòng)，它是系統(tǒng)本身的固有震動(dòng)，它隨時(shí)間的延續(xù)而減弱，最后等于0。第二部分是由外力而引起的強(qiáng)迫震動(dòng)項(xiàng)，它的振幅不隨時(shí)間的延續(xù)而衰減，當(dāng)時(shí)間充分大時(shí)，方程的解最終趨向于。這里簡(jiǎn)化為項(xiàng)。1112兩個(gè)不同周期的函數(shù)。為了方便的看出函數(shù)的圖形，令(D)現(xiàn)在考慮沒(méi)有空氣阻力而有周期性外力作用的彈簧震動(dòng)，這個(gè)時(shí)候物體的運(yùn)動(dòng)能夠滿(mǎn)足方程:當(dāng)時(shí)方程的通解:1314方程的通解為當(dāng)時(shí)，外

4、力的頻率與彈簧震動(dòng)的固有頻率相等，這種現(xiàn)象稱(chēng)為共振現(xiàn)象。這個(gè)時(shí)候彈簧的震動(dòng)滿(mǎn)足的方程：15第一項(xiàng)是一個(gè)周期函數(shù)，第二項(xiàng)代表振幅在隨時(shí)間增大而增大的一種震動(dòng)。在這里為了方便我們?nèi)菀桌斫?，令從圖形可以看出振幅隨時(shí)間的增大而無(wú)限增大，在現(xiàn)實(shí)生活中這種現(xiàn)象對(duì)我們即有利也有害。1617