常微分方程3.5-高階微分方程.ppt

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1、機(jī)械振動的模型一個彈簧，上端固定，下端掛一質(zhì)量為的物體。當(dāng)物體處于靜止?fàn)顟B(tài)時（平衡位置）：作用在物體上的重力與彈性力大小相等，方向向反。向下的重力，彈簧向上的彈力，是彈簧受重力作用后向下拉伸的長度，其中是彈簧的彈性系數(shù)，有。1為了研究物體的運(yùn)動規(guī)律，選取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，取軸垂直向下。當(dāng)物體處于平衡位置的時候，有，當(dāng)物體受到的外力作用時，從平衡位置開始運(yùn)動，代表物體在時刻的位置，當(dāng)物體開始運(yùn)動時，受到下面4個力的作用:2(1)物體的重力W=mg，方向是向下的，與坐標(biāo)軸的方向一致。(4)物體在運(yùn)動過程中還受到隨時間變化的外力F(t)作用，方向可能不確定。依賴F(t)的正負(fù)。

2、彈力方向與運(yùn)動方向相反。(2)彈簧的彈力，(3)空氣阻力D，阻力的大小與運(yùn)動速度成正比，阻力系數(shù)為方向與運(yùn)動方向相反，3因此物體的運(yùn)動滿足二階線性微分方程(A).我們首先研究沒有空氣阻力和外力作用的彈簧振動。令.方程的通解：4齊次方程通解改寫為：取令。我們可以看到物體的運(yùn)動：周期震動：振幅是，初相位，振幅和初相位都依賴于初始條件的選擇。56(B).現(xiàn)在我們考慮有空氣阻力而沒有外力作用的彈簧震動。方程的解：特征根：方程的通解改寫為：方程的特征方程：當(dāng)，小阻尼自由振動，7我們令方程的圖形:8(C)假如物體在運(yùn)動的過程中既有空氣的阻力我們可以看出彈簧的震動已經(jīng)不是周期的了，震動的

3、最大偏離隨著時間的增加而不斷的減小，最后趨于平衡位置。又有周期外力作用，則彈簧震動的方程：9方程的一個特解：因此方程的通解：令10這時方程的特解變?yōu)椋何覀兛梢钥闯鰪椈傻恼饎佑蓛刹糠织B加而成。第一部分是有阻尼的自由震動，它是系統(tǒng)本身的固有震動，它隨時間的延續(xù)而減弱，最后等于0。第二部分是由外力而引起的強(qiáng)迫震動項(xiàng)，它的振幅不隨時間的延續(xù)而衰減，當(dāng)時間充分大時，方程的解最終趨向于。這里簡化為項(xiàng)。1112兩個不同周期的函數(shù)。為了方便的看出函數(shù)的圖形，令(D)現(xiàn)在考慮沒有空氣阻力而有周期性外力作用的彈簧震動，這個時候物體的運(yùn)動能夠滿足方程:當(dāng)時方程的通解:1314方程的通解為當(dāng)時，外

4、力的頻率與彈簧震動的固有頻率相等，這種現(xiàn)象稱為共振現(xiàn)象。這個時候彈簧的震動滿足的方程：15第一項(xiàng)是一個周期函數(shù)，第二項(xiàng)代表振幅在隨時間增大而增大的一種震動。在這里為了方便我們?nèi)菀桌斫?，令從圖形可以看出振幅隨時間的增大而無限增大，在現(xiàn)實(shí)生活中這種現(xiàn)象對我們即有利也有害。1617