中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)探究題賞析

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1、于點(diǎn)M,則點(diǎn)M為所求，然后再證四邊形PDQM為菱形.解:(1)如圖1,過點(diǎn)A作AE//BC交CD于點(diǎn)E,則CE=AB=4.二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)探究題賞析二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容Z—，而數(shù)學(xué)探究又是數(shù)學(xué)教育改革的新亮點(diǎn)，因此二次兩數(shù)探究題便成了各地中考命題的熱點(diǎn)，命題者將二次函數(shù)問題巧妙設(shè)計(jì)成數(shù)學(xué)探究題用以考查同學(xué)們的分析能力、想象能力、探究能力和創(chuàng)新能力.現(xiàn)僅就中考題有關(guān)二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)探究題精選兩例解析如下，供同學(xué)們鑒賞：例1如圖，等腰梯形ABCD中，AB=4,CZ>9,ZC=60°,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CD方向向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q同

2、時(shí)以相同速度從點(diǎn)D出發(fā)沿D4方向向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).(1)求4D的長(zhǎng)；(2)設(shè)cr,問當(dāng)兀為何值吋△PDQ的面積達(dá)到最大，并求出最大值；(3)探究：在BC邊上是否存在點(diǎn)M使得四邊形PDQM是菱形？若存在，請(qǐng)找出點(diǎn)并求出的長(zhǎng)；不存在，請(qǐng)說明理由.野S分析⑴過點(diǎn)A作AE〃BC交CD于點(diǎn)E,證ZAED為等邊三角形，則AD可求；p卩(2)將APOQ的邊PD及PD邊上的高/z用含兀的代數(shù)式表示，則APDO的面積可表示為x的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的極值可求得APDQ面積的最大值；(3)先假設(shè)

3、四邊形PDQM為菱形，則PD=DQ從而求得點(diǎn)Q,過點(diǎn)Q作QM〃DC交BCZAED=ZC=60°.又VZZ>ZC=60°,A/AED是等邊三角形.???AD=DE=9~4=5.(2)如圖2,DQ=CP=x,/z為PD邊上的高,ZD=60°,/PDQ的面積SiJ表示為:DAS=-PDh=-(9-xy—x=—(9x-x2)2224由題意，知0仝5????當(dāng)尸?時(shí)（滿足0尿5）216（3）如圖3,假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)M,則PD必須等于QQ.9于是9~x=Xrx=—.RiJ點(diǎn)P為CD的屮點(diǎn).2此時(shí)，點(diǎn)P、Q的位置如圖3所示，連QP

4、.ZD=60°,則△PQQ為等邊三角形.過點(diǎn)Q作QM//DC,交BC于M,點(diǎn)M即為所求.連結(jié)MP,則CP=PD=DQ=CM,ZC=60°,則ZCPM也是等邊三角形.AZD=Z3=60°.:.MP//QD,二四邊形PDQM是平行四邊形.又PD=DQ.???四邊形PDQM是菱形.91所以存在滿足條件的點(diǎn)M,且BM=BC—MC=5—一一.22例2如圖，已知拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O和兀軸上另一點(diǎn)A,它的對(duì)稱軸尸2與兀軸交于點(diǎn)C,直線尸?力?1經(jīng)過拋物線上一點(diǎn)B（?2戶），且與），軸、直線尸2分別交于點(diǎn)D、E.（1）求加的值及該拋物線對(duì)應(yīng)的

5、函數(shù)關(guān)系式；（2）求證：①CB=CE；②D是BE的中點(diǎn);（3）若P（x,y）是該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)P,使得若存在,試求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由分析⑴由點(diǎn)在直線y=-2x-l上，可求得加的值及點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而求得拋物線的解析式;(2)通過分別求得CB和CE的長(zhǎng)來說明CB=CE,過點(diǎn)3作BG//X軸，與),軸交于F、直線尸2交于G,過點(diǎn)E作EH//x軸，交y軸于由厶DFB竺ADHE,證得Q是BE的中點(diǎn)；(3)若存在點(diǎn)P使得PB=PE,則點(diǎn)P必在線段BE的中垂線CD上，動(dòng)點(diǎn)P乂在拋物線上，

6、通過解直線CD和拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式所聯(lián)列的方程組，其解即為所求點(diǎn)的坐標(biāo).解:(1)?.?點(diǎn)B(?2,m)在直線y=一2兀一1上，m=-2x(-2)-l=3./.B(?2,3)???拋物線經(jīng)過原點(diǎn)0和點(diǎn)A,對(duì)稱軸為尸2,???點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0).設(shè)所求的拋物線對(duì)應(yīng)函數(shù)關(guān)系式為)r=a(x-0)(x-4).將點(diǎn)3(?2,3)代入上式，得3=°(?2?0)(?2?4),???a=丄.4???所求的拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=ix(x-4)f即y=lx2-x.4「4(2)①直線y=-2x-l與y軸、直線x=2的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為

7、0(0,-1)￡(2,-5).過點(diǎn)B作BG//X軸，與y軸交于F、直線尸2交于G,則點(diǎn)G坐標(biāo)為(2,3)BG丄直線尸2,BG=4.在皿BGC中，BC=VcG2+BG2=^32+42=5.JCE=5,???CB=CE=5.②過點(diǎn)E作EH〃兀軸，交)，軸于則點(diǎn)H的坐標(biāo)為H(0,?5).又點(diǎn)F、D的坐標(biāo)為F(0,3)、D(0,-l),???FD=DH=4,BF=EH=2,上BFD=ZEHD=90。.:./XDFB^/XDHE(SAS),BD=DE.即D是BE的中點(diǎn).(3)由于PB=PE,；?點(diǎn)戶必在線段BE的中垂線CD上，又點(diǎn)P在

8、拋物線尸丄兀2一兀上，-4???符合條件的點(diǎn)P應(yīng)是直線CD與該拋物線的交點(diǎn).設(shè)直線CD対應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b.將點(diǎn)D(0,-l)C(2,0)代入,得;;二「解得噸，—直線3對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為尸沖ry=—x-lrx}=3+V5

9、-X2=3-a/5解方程組J1得{1+石彳1-石I尸存-