【數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)】【畢業(yè)論文】Cauchy 不等式的等價形式及其應用

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1、（20__屆）本科畢業(yè)論文Cauchy不等式的等價形式及其應用0摘要：Cauchy不等式是數(shù)學中的重要基石。本文首先從數(shù)學文化的角度介紹了奧古斯丁-路易-柯西A.L.Augustin-LouisCauchy及柯西不等式的由來，并對柯西不等式的概念以及其相關證明加以闡述?？挛鞑坏仁降膽脴O其廣泛，本文選擇了其中五個領域對他的應用進行了簡單的舉例：不等式的證明、幾何、求函數(shù)最值、線性代數(shù)以及概率論與數(shù)理統(tǒng)計上的應用。關鍵詞：不等式；三角形；函數(shù)；向量；方程0EquivalentCauchyInequalityanditsApplicationsAbstract：Cauch

2、yinequalityisanimportantcornerstoneofmathematics.ThispaperintroducesA.L.Augustin-LouisCauchyandtheoriginoftheCauchyinequalitybasedonthecultureofmathmatics,thenelaboratetheconceptofCauchyinequalityandtherelevantproof,theCauchyinequalityhastheExtremelywideapplication.Thispapermakesomesimp

3、leexamplesfromitsapplicationfields:Proofofinequalities,Geometry,thevalueofafunction,linearalgebra,theapplicationonprobabilitytheoryandmathematicalstatistics.Keywords：inequality,triangle,function,vector,equation0目錄1引言12柯西不等式的由來22.1柯西的成果22.2柯西不等式的概念43柯西不等式的應用93.1在證明不等式上的應用93.2在幾何上的應用113.3

4、在求函數(shù)最值上的應用123.4在線性代數(shù)上的應用143.5在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中的應用164結論17致謝19參考文獻2001引言數(shù)學上，不等是表明兩個對象的大小或者順序的二元關系，其應用與我們的生活緊密結合。如在房屋建筑、飲食、運動上都有著深刻的應用。在初等數(shù)學和高等數(shù)學中都有重要的意義，尤其是20世紀90年代，不等式的研究空前活躍，研究的深度和廣度都在迅速擴大。數(shù)學家常用不等式來限制一些不能簡單使用精確公式得到的量，一些不等式非常有用，例如：伯努利不等式、切比雪夫不等式、赫爾德不等式等等?？挛鞑坏仁绞遣坏仁街幸粋€重要的不等式，即柯西-施瓦茨不等式，又稱施瓦茨不等式或柯

5、西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式，它是以奧古斯丁-路易-柯西A.L.Augustin-LouisCauchy，赫爾曼-阿曼杜斯-施瓦茨和維克托-雅科夫列維奇-布尼亞科夫斯基命名，柯西不等式在很多場合都能用得上，例如線性代數(shù)的矢量，數(shù)學分析的無窮級數(shù)和乘積的積分，以及概率論的方差和協(xié)方差。從歷史的角度講，該不等式應當稱為Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，因為，正是后兩位數(shù)學家彼此獨立地在積分學中推而廣之，才將這一不等式應用到近乎完善的地步?？挛鞑坏仁皆谧C明不等式、解三角形、求函數(shù)最值、解方程等問題的方面都有著廣泛的應用。靈活巧妙地應用柯西不等式

6、，可以使一些較為困難的問題迎刃而解，特別是在應用柯西不等式解決某些問題時能起到簡便直觀的作用。同時，這個不等式結構和諧，應用靈活廣泛，本身有著優(yōu)美的對稱形式、簡潔的統(tǒng)一證法和命題間的內在聯(lián)系，因此關于它的研究一直受到人們的廣泛關注，由此促使我進一步了解柯西不等式的多種形式及其掌握它在數(shù)學問題當中的應用。192柯西不等式的由來2.1柯西的成果法國數(shù)學家柯西A.L.Augustin-LouisCauchy于1789年8月21日在巴黎出生，父親路易·弗朗索瓦·柯西是法國波旁王朝的官員，在法國動蕩的政治漩渦一直擔任公職。由于家庭原因，柯西本人便屬于擁護波旁王朝的正統(tǒng)派，是一位

7、虔誠的天主教徒。他在純數(shù)學和應用數(shù)學的功底是相當深厚的，很多數(shù)學的定理、公式都以他的名字來稱呼，如柯西不等式、柯西積分公式。他幼年時在父親的教導下學習，拉格郎日、拉普拉斯常和他父親來往，曾預言柯西日后必成大器?？挛饔?802年入中學。在中學時，他的拉丁文和希臘文取得優(yōu)異成績，多次參加競賽獲獎；大約在1805年時，就讀于巴黎綜合理工學院，1807年考入橋梁公路學校，1810年以優(yōu)異成績畢業(yè)，前往瑟堡參加海港建設工程?？挛魅ドr攜帶了拉格朗日的解析函數(shù)論和拉普拉斯的天體力學，后來還陸續(xù)收到從巴黎寄出或從當?shù)亟璧玫囊恍?shù)學書。他在業(yè)余時間悉心攻讀有關數(shù)學