Cauchy不等式的等價形式及其應(yīng)用文獻綜述

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1、文獻綜述Cauchy不等式的等價形式及其應(yīng)用一、前言部分（說明寫作的目的，介紹有關(guān)概念、綜述范圍，扼要說明有關(guān)主題爭論焦點）柯西不等式在不同的數(shù)學(xué)領(lǐng)域有不同的形式和應(yīng)用。特別是在應(yīng)用柯西不等式解決某些問題時能起到簡便直觀的作用。對任意兩組實數(shù)；；有當且僅當與對應(yīng)成比例，即時等號成立。（的意義如下：在不全為零時，若，則對應(yīng)的；在時，可取任意實數(shù)。）這個不等式稱柯西（Cauchy）不等式?？挛鞑坏仁剑–auchyInequality）定理：設(shè)和是任意實數(shù)，則，當且僅當（為常數(shù)，）時取等號。由于所設(shè)條件是一切實數(shù)，沒有其他條件限制，運用范圍較廣?？挛鞑坏仁皆诓煌臄?shù)學(xué)領(lǐng)域的形式和內(nèi)容不同

2、，但卻具有內(nèi)在的聯(lián)系。在初等數(shù)學(xué)中的柯西不等式就稱為柯西不等式；在微積分中的柯西不等式稱為柯西—許瓦茲不等式，它是以積分的形式給出的；在概率論中的柯西不等式也稱為柯西—許瓦茲不等式，它是以隨機變量的數(shù)字特征形式給出的；在線性代數(shù)中的柯西不等式稱為柯西—布涅雅柯斯基不等式，它是用內(nèi)積形式給出的。Cauchy不等式的形式1、在初等數(shù)學(xué)中，任意有當且僅當存在不全為零的常數(shù)使時，等式成立。1、在積分學(xué)中，任意有。當且僅當存在不全為零的常數(shù)使時，等式成立。2、在高等代數(shù)的n維歐式空間中，任意向量當且僅當存在不全為零的常數(shù)使時，等式成立。3、在概率論中，任意，若存在，則有當且僅當存在不全為零的

3、常數(shù)使時，等式成立。二、主題部分（闡明有關(guān)主題的歷史背景、現(xiàn)狀和發(fā)展方向，以及對這些問題的評述）柯西（Cauchy,Augustin-Louis,1789－1857)，法國數(shù)學(xué)家，8月21日生于巴黎，他的父親路易·弗朗索瓦·柯西是法國波旁王朝的官員，在法國動蕩的政治漩渦中一直擔任公職。由于家庭的原因，柯西本人屬于擁護波旁王朝的正統(tǒng)派，是一位虔誠的天主教徒。他在純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的功底是相當深厚的，很多數(shù)學(xué)的定理、公式都以他的名字來稱呼，如柯西不等式、柯西積分公式。在數(shù)學(xué)寫作上，他被認為在數(shù)量上僅次于歐拉的人，他一生一共著作了789篇論文和幾本書，以《分析教程》（1821年）和《關(guān)于定

4、積分理論的報告》（1827年）最為著名。不過并不是他所有的創(chuàng)作質(zhì)量都很高，因此他還曾被人批評“高產(chǎn)而輕率”，這點倒是與數(shù)學(xué)王子相反。據(jù)說，法國科學(xué)院《會刊》創(chuàng)刊的時候，由于柯西的作品實在太多，以致于科學(xué)院要負擔很大的印刷費用，超出科學(xué)院的預(yù)算，因此，科學(xué)院后來規(guī)定論文最長的只能夠到四頁?？挛鬏^長的論文因而只得投稿到其它地方?？挛髟谟啄陼r，他的父親常帶領(lǐng)他到法國參議院內(nèi)的辦公室，并且在那里指導(dǎo)他進行學(xué)習(xí)，因此他有機會遇到參議員拉普拉斯和拉格朗日兩位大數(shù)學(xué)家。他們對他的才能十分常識；拉格朗日認為他將來必定會成為大數(shù)學(xué)家，但建議他的父親在他學(xué)好文科前不要學(xué)數(shù)學(xué)?？挛饔?802年入中學(xué)。在

5、中學(xué)時，他的拉丁文和希臘文取得優(yōu)異成績，多次參加競賽獲獎；數(shù)學(xué)成績也深受老師贊揚。他于1805年考入綜合工科學(xué)校，在那里主要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和力學(xué)；1807年考入橋梁公路學(xué)校，1810年以優(yōu)異成績畢業(yè)，前往瑟堡參加海港建設(shè)工程。柯西去瑟堡時攜帶了拉格朗日的解析函數(shù)論和拉普拉斯的天體力學(xué)，后來還陸續(xù)收到從巴黎寄出或從當?shù)亟璧玫囊恍?shù)學(xué)書。他在業(yè)余時間悉心攻讀有關(guān)數(shù)學(xué)各分支方面的書籍，從數(shù)論直到天文學(xué)方面。根據(jù)拉格朗日的建議，他進行了多面體的研究，并于1811及1812年向科學(xué)院提交了兩篇論文，其中主要成果是：(1)證明了凸正多面體只有五種(面數(shù)分別是4，6，8，12，20)，星形正多面體只有

6、四種(面數(shù)是12的三種，面數(shù)是20的一種)。(2)得到了歐拉關(guān)于多面體的頂點、面和棱的個數(shù)關(guān)系式的另一證明并加以推廣。(3)證明了各面固定的多面體必然是固定的，從此可導(dǎo)出從未證明過的歐幾里得的一個定理。這兩篇論文在數(shù)學(xué)界造成了極大的影響。柯西在瑟堡由于工作勞累生病，于1812年回到巴黎他的父母家中休養(yǎng)。柯西于1813年在巴黎被任命為運河工程的工程師，他在巴黎休養(yǎng)和擔任工程師期間，繼續(xù)潛心研究數(shù)學(xué)并且參加學(xué)術(shù)活動。這一時期他的主要貢獻是：(1)研究代換理論，發(fā)表了代換理論和群論在歷史上的基本論文。(2)證明了費馬關(guān)于多角形數(shù)的猜測，即任何正整數(shù)是個角形數(shù)的和。這一猜測當時已提出了一百

7、多年，經(jīng)過許多數(shù)學(xué)家研究，都沒有能夠解決。以上兩項研究是柯西在瑟堡時開始進行的。(3)用復(fù)變函數(shù)的積分計算實積分，這是復(fù)變函數(shù)論中柯西積分定理的出發(fā)點。(4)研究液體表面波的傳播問題，得到流體力學(xué)中的一些經(jīng)典結(jié)果，于1815年得法國科學(xué)院數(shù)學(xué)大獎。以上突出成果的發(fā)表給柯西帶來了很高的聲譽，他成為當時一位國際上著名的青年數(shù)學(xué)家。1815年法國拿破侖失敗，波旁王朝復(fù)辟，路易十八當上了法王。柯西于1816年先后被任命為法國科學(xué)院院士和綜合工科學(xué)校教授。1821年又被任命為巴