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《導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值.doc》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、§3.2 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值1．函數(shù)的單調(diào)性在某個(gè)區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f′(x)>0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f′(x)<0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．2．函數(shù)的極值(1)判斷f(x0)是極值的方法一般地，當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)時(shí)，①如果在x0附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，那么f(x0)是極大值；②如果在x0附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，那么f(x0)是極小值．(2)求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；
2、③檢查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值的符號(hào)．如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值．3．函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．(2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值．(3)設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，求f(x)在[a，b]上的最大
3、值和最小值的步驟如下：①求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；②將f(x)的各極值與f(a)，f(b)進(jìn)行比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值．1．判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)f′(x)>0是f(x)為增函數(shù)的充要條件．( × )(2)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值是唯一的．( × )(3)函數(shù)的極大值不一定比極小值大．( √ )(4)對(duì)可導(dǎo)函數(shù)f(x)，f′(x0)＝0是x0點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件．( × )(5)函數(shù)的最大值不一定是極大值，函數(shù)的最小值也不一定是極小值．( √ )(6
4、)函數(shù)f(x)＝xsinx有無(wú)數(shù)個(gè)極值點(diǎn)．( √ )2．函數(shù)f(x)＝x2－2lnx的單調(diào)減區(qū)間是( )A．(0,1)B．(1，＋∞)C．(－∞，1)D．(－1,1)答案 A解析 ∵f′(x)＝2x－＝(x>0)．∴當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)<0，f(x)為減函數(shù)；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，f(x)為增函數(shù)．3．(2013·浙江)已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，設(shè)函數(shù)f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，則( )A．當(dāng)k＝1時(shí)，f(x)在x＝1處取到極小值B．當(dāng)k＝1時(shí)，f(x)在x＝1處取到極
5、大值C．當(dāng)k＝2時(shí)，f(x)在x＝1處取到極小值D．當(dāng)k＝2時(shí)，f(x)在x＝1處取到極大值答案 C解析 當(dāng)k＝1時(shí)，f′(x)＝ex·x－1，f′(1)≠0.∴x＝1不是f(x)的極值點(diǎn)．當(dāng)k＝2時(shí)，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)顯然f′(1)＝0，且x在1的左邊附近f′(x)<0，x在1的右邊附近f′(x)>0，∴f(x)在x＝1處取到極小值．故選C.4．函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(－1)＝2，對(duì)任意x∈R，f′(x)>2，則f(x)>2x＋4的解集為( )A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(－
6、∞，－1)D．(－∞，＋∞)答案 B解析 設(shè)m(x)＝f(x)－(2x＋4)，∵m′(x)＝f′(x)－2>0，∴m(x)在R上是增函數(shù)．∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，∴m(x)>0的解集為{x
7、x>－1}，即f(x)>2x＋4的解集為(－1，＋∞)．5．函數(shù)f(x)＝x3＋ax－2在(1，＋∞)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案 [－3，＋∞)解析 f′(x)＝3x2＋a，f′(x)在區(qū)間(1，＋∞)上是增函數(shù)，則f′(x)＝3x2＋a≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a≥－3x2在(1
8、，＋∞)上恒成立．∴a≥－3.題型一 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性例1 已知函數(shù)f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上為減函數(shù)，若存在，求出a的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．思維啟迪 函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)中的參數(shù)有關(guān)，要注意對(duì)參數(shù)的討論．解 f′(x)＝ex－a，(1)若a≤0，則f′(x)＝ex－a≥0，即f(x)在R上單調(diào)遞增，若a>0，ex－a≥0，∴ex≥a，x≥lna.因此當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為R，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是[lna
9、，＋∞)．(2)∵f′(x)＝ex－a≤0在(－2,3)上恒成立．∴a≥ex在x∈(－2,3)上恒成立．又∵－2
