導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性極值最值.doc

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1、§3.2　導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值教學(xué)目標(biāo)1.了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。2.了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值；會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值。學(xué)習(xí)內(nèi)容知識(shí)梳理1．函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，如果在(a，b)內(nèi)，f′(x)>0，則f(x)在此區(qū)間是增函數(shù)；如果在(a，b)內(nèi)，f′(x)<0，則f(x)在此區(qū)間是減函數(shù)．2．函數(shù)的極值已知函數(shù)y＝f(x)，設(shè)x0是定義域(a，b)內(nèi)任一點(diǎn)，如果對(duì)x0附近所有點(diǎn)x，都有f(x)

2、稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取極大值，記作y極大＝f(x0)，并把x0稱為函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn)；如果在x0附近都有f(x)>f(x0)，則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取極小值，記作y極?。絝(x0)，并把x0稱為函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值點(diǎn)．3．求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟(1)求導(dǎo)數(shù)f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的所有實(shí)數(shù)根；(3)考察在每個(gè)根x0附近，從左到右，導(dǎo)函數(shù)f′(x)的符號(hào)如何變化．如果f′(x)的符號(hào)由正變負(fù)，則f(x0)是極大值；如果f′(x)的符號(hào)由負(fù)變正，則f(x0)是極小值．如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左、右側(cè)，f′(x)符號(hào)不變，則f

3、(x0)不是極值．4．函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．(2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值．(3)求可導(dǎo)函數(shù)f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟如下：①求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；②將f(x)的各極值與f(a)，f(b)進(jìn)行比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值．例題講解題型一　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性例1　已知函數(shù)f(x)＝ex－ax－1.(

4、1)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上為減函數(shù)，若存在，求出a的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．思維啟迪　函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)中的參數(shù)有關(guān)，要注意對(duì)參數(shù)的討論．解　f′(x)＝ex－a，(1)若a≤0，則f′(x)＝ex－a≥0，即f(x)在R上單調(diào)遞增，若a>0，ex－a≥0，∴ex≥a，x≥lna.因此當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為R，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是[lna，＋∞)．(2)∵f′(x)＝ex－a≤0在(－2,3)上恒成立．∴a≥ex在x∈(－2,3)上恒成立．又∵－2

5、a≥e3.當(dāng)a＝e3時(shí)，f′(x)＝ex－e3在x∈(－2,3)上，f′(x)<0，即f(x)在(－2,3)上為減函數(shù)，∴a≥e3.故存在實(shí)數(shù)a≥e3，使f(x)在(－2,3)上為減函數(shù)．思維升華　(1)利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)已知函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)范圍可以轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題；(3)f(x)為增函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f′(x)≠0.應(yīng)注意此時(shí)式子中的等號(hào)不能省略，否則漏解．鞏固　(1)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－(1＋a)x2＋4ax＋24a，其中常數(shù)a>1，則f(x)的單調(diào)減區(qū)間

6、為________．答案　(2,2a)解析　f′(x)＝x2－2(1＋a)x＋4a＝(x－2)(x－2a)，由a>1知，當(dāng)x<2時(shí)，f′(x)>0，故f(x)在區(qū)間(－∞，2)上是增函數(shù)；當(dāng)22a時(shí)，f′(x)>0，故f(x)在區(qū)間(2a，＋∞)上是增函數(shù)．綜上，當(dāng)a>1時(shí)，f(x)在區(qū)間(－∞，2)和(2a，＋∞)上是增函數(shù)，在區(qū)間(2,2a)上是減函數(shù)．(2)若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是減函數(shù)，則b的取值范圍是________．答案　(－∞，－1]解析　轉(zhuǎn)

7、化為f′(x)＝－x＋≤0在[－1，＋∞)上恒成立，即b≤x(x＋2)在[－1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝x(x＋2)＝(x＋1)2－1，所以g(x)min＝－1，則b的取值范圍是(－∞，－1]．題型二　利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值例2　設(shè)a>0，函數(shù)f(x)＝x2－(a＋1)x＋a(1＋lnx)．(1)求曲線y＝f(x)在(2，f(2))處與直線y＝－x＋1垂直的切線方程；(2)求函數(shù)f(x)的極值．思維啟迪　(1)通過(guò)f′(2)的值確定a；(2)解f′(x)＝0，然后要討論兩個(gè)零點(diǎn)的大小確定函數(shù)的極值．解　(1)由已知，得x>0，f′(x)＝x－(a＋1)＋，y＝

8、f(x)在(2，f(2)