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1、證明切線的兩種方法朱元生判定直線與圓相切是有關圓的問題中經常會遇到的問題,現將常用的兩種思路與方法說明如下：一、運用判定定理是證明切線最常用的方法,即如果直線與圓有交點,則連接交點與圓心得半徑,只要證明這條半徑與該直線垂直即可.這種方法可簡單概括為:連半徑,證垂直.例1如圖1,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O交BC于點D,過點D作DE⊥AC于E.求證:DE是⊙O的切線.分析:由題設可知,DE與⊙O有交點D,要證明DE是⊙O的切線,只要連接OD,證明OD⊥DE即可.證明:連接OD.∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∴∠ODB=∠ACB.∴OD∥A
2、C.∴∠ODE=∠DEC.∵DE⊥AC,∴∠DEC=900.∴∠ODE=900,即OD⊥DE.∴DE是⊙O的切線.二、當不明確直線與圓的交點個數或交點的位置時,可以經過圓心作直線的垂線,然后證明圓心到直線的距離等于圓的半徑即可.這種方法可簡單概括為:作垂線,證半徑.例2如圖2,在Rt△AOB中,AO=,BO=,以點O為圓心,6為半徑作⊙O.求證:AB是⊙O的切線.分析:由題設知,⊙O與直線AB是獨立的,既沒有指明交點個數,也沒有指明交點位置,這時要證明AB是⊙O的切線,只能證明圓心O到直線AB的距離等于圓的半徑6即可.證明:過點O作OC⊥AB于點C.在Rt△AOB中,AO=,BO=,由勾股定理
3、,得AB=.根據三角形面積公式,得.∴OC=.圖3∴點O到直線AB的距離等于⊙O的半徑.∴AB是⊙O的切線.[牛刀小試]如圖3,,點O是等腰三角形ABC底邊BC的中點,若AB是⊙O的切線,試證明AC也是⊙O的切線.提示:設點D為AB與⊙O的切點,連接OD,過點O作OE⊥AC于點E,證明OE=OD即可.
