資源描述：
《統(tǒng)計(jì)公式課件-隨機(jī)事件及其概率.docx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
隨機(jī)事件及其概率（1）排列組合公式從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行排列的可能數(shù)。從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行組合的可能數(shù)。（2）加法和乘法原理加法原理（兩種方法均能完成此事）：m+n某件事由兩種方法來完成，第一種方法可由m種方法完成，第二種方法可由n種方法來完成，則這件事可由m+n種方法來完成。乘法原理（兩個(gè)步驟分別不能完成這件事）：m×n某件事由兩個(gè)步驟來完成，第一個(gè)步驟可由m種方法完成，第二個(gè)步驟可由n種方法來完成，則這件事可由m×n種方法來完成。（3）一些常見排列重復(fù)排列和非重復(fù)排列（有序）對(duì)立事件（至少有一個(gè)）順序問題（4）隨機(jī)試驗(yàn)和隨機(jī)事件如果一個(gè)試驗(yàn)在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行，而每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，但在進(jìn)行一次試驗(yàn)之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果，則稱這種試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)。試驗(yàn)的可能結(jié)果稱為隨機(jī)事件。（5）基本事件、樣本空間和事件在一個(gè)試驗(yàn)下，不管事件有多少個(gè)，總可以從其中找出這樣一組事件，它具有如下性質(zhì)：①每進(jìn)行一次試驗(yàn)，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個(gè)事件；②任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。
這樣一組事件中的每一個(gè)事件稱為基本事件，用來表示。基本事件的全體，稱為試驗(yàn)的樣本空間，用表示。一個(gè)事件就是由中的部分點(diǎn)（基本事件）組成的集合。通常用大寫字母A，B，C，…表示事件，它們是的子集。為必然事件，?為不可能事件。不可能事件（?）的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率為1，而概率為1的事件也不一定是必然事件。（6）事件的關(guān)系與運(yùn)算①關(guān)系：如果事件A的組成部分也是事件B的組成部分，（A發(fā)生必有事件B發(fā)生）：如果同時(shí)有，，則稱事件A與事件B等價(jià)，或稱A等于B：A=B。A、B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件：AB，或者A+B。屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱為A與B的差，記為A-B，也可表示為A-AB或者，它表示A發(fā)生而B不發(fā)生的事件。A、B同時(shí)發(fā)生：AB，或者AB。AB=?，則表示A與B不可能同時(shí)發(fā)生，稱事件A與事件B互不相容或者互斥?；臼录腔ゲ幌嗳莸摹?A稱為事件A的逆事件，或稱A的對(duì)立事件，記為。它表示A不發(fā)生的事件。互斥未必對(duì)立。②運(yùn)算：結(jié)合率：A(BC)=(AB)CA∪(B∪C)=(A∪B)∪C分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)德摩根率：，
（7）概率的公理化定義設(shè)為樣本空間，為事件，對(duì)每一個(gè)事件都有一個(gè)實(shí)數(shù)P(A)，若滿足下列三個(gè)條件：1°0≤P(A)≤1，2°P(Ω)=13°對(duì)于兩兩互不相容的事件，，…有常稱為可列（完全）可加性。則稱P(A)為事件的概率。（8）古典概型1°，2°。設(shè)任一事件，它是由組成的，則有P(A)==（9）幾何概型若隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果為無限不可數(shù)并且每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性均勻，同時(shí)樣本空間中的每一個(gè)基本事件可以使用一個(gè)有界區(qū)域來描述，則稱此隨機(jī)試驗(yàn)為幾何概型。對(duì)任一事件A，。其中L為幾何度量（長度、面積、體積）。（10）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)當(dāng)P(AB)＝0時(shí)，P(A+B)=P(A)+P(B)（11）減法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)當(dāng)BA時(shí)，P(A-B)=P(A)-P(B)當(dāng)A=Ω時(shí)，P()=1-P(B)（12）條件概率定義設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且P(A)>0，則稱為事件A發(fā)生條件下，事件B發(fā)生的條件概率，記為。條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。
例如P(Ω/B)=1P(/A)=1-P(B/A)（13）乘法公式乘法公式：更一般地，對(duì)事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，則有…………。（14）獨(dú)立性①兩個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)事件、滿足，則稱事件、是相互獨(dú)立的。若事件、相互獨(dú)立，且，則有若事件、相互獨(dú)立，則可得到與、與、與也都相互獨(dú)立。必然事件和不可能事件?與任何事件都相互獨(dú)立。?與任何事件都互斥。②多個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)ABC是三個(gè)事件，如果滿足兩兩獨(dú)立的條件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同時(shí)滿足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互獨(dú)立。對(duì)于n個(gè)事件類似。（15）全概公式設(shè)事件滿足1°兩兩互不相容，，2°，則有。（16）貝葉斯公式設(shè)事件，，…，及滿足1°，，…，兩兩互不相容，>0，1，2，…，，2°，，
則，i=1，2，…n。此公式即為貝葉斯公式。，（，，…，），通常叫先驗(yàn)概率。，（，，…，），通常稱為后驗(yàn)概率。貝葉斯公式反映了“因果”的概率規(guī)律，并作出了“由果朔因”的推斷。（17）伯努利概型我們作了次試驗(yàn)，且滿足u每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果，發(fā)生或不發(fā)生；u次試驗(yàn)是重復(fù)進(jìn)行的，即發(fā)生的概率每次均一樣；u每次試驗(yàn)是獨(dú)立的，即每次試驗(yàn)發(fā)生與否與其他次試驗(yàn)發(fā)生與否是互不影響的。這種試驗(yàn)稱為伯努利概型，或稱為重伯努利試驗(yàn)。用表示每次試驗(yàn)發(fā)生的概率，則發(fā)生的概率為，用表示重伯努利試驗(yàn)中出現(xiàn)次的概率，，。第二章隨機(jī)變量及其分布（1）離散型隨機(jī)變量的分布律設(shè)離散型隨機(jī)變量的可能取值為Xk(k=1,2,…)且取各個(gè)值的概率，即事件(X=Xk)的概率為P(X=xk)=pk，k=1,2,…，則稱上式為離散型隨機(jī)變量的概率分布或分布律。有時(shí)也用分布列的形式給出：。顯然分布律應(yīng)滿足下列條件：（1），，（2）。
（2）連續(xù)型隨機(jī)變量的分布密度設(shè)是隨機(jī)變量的分布函數(shù)，若存在非負(fù)函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量。稱為的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡稱概率密度。密度函數(shù)具有下面4個(gè)性質(zhì)：1°。2°。（3）離散與連續(xù)型隨機(jī)變量的關(guān)系積分元在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用與在離散型隨機(jī)變量理論中所起的作用相類似。
（4）分布函數(shù)設(shè)為隨機(jī)變量，是任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個(gè)累積函數(shù)?？梢缘玫絏落入?yún)^(qū)間的概率。分布函數(shù)表示隨機(jī)變量落入?yún)^(qū)間（–∞，x]內(nèi)的概率。分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：1°；2°是單調(diào)不減的函數(shù)，即時(shí)，有；3°，；4°，即是右連續(xù)的；5°。對(duì)于離散型隨機(jī)變量，；對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，。（5）八大分布0-1分布P(X=1)=p,P(X=0)=q
二項(xiàng)分布在重貝努里試驗(yàn)中，設(shè)事件發(fā)生的概率為。事件發(fā)生的次數(shù)是隨機(jī)變量，設(shè)為，則可能取值為。，其中，則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布。記為。當(dāng)時(shí)，，，這就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二項(xiàng)分布的特例。泊松分布設(shè)隨機(jī)變量的分布律為，，，則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布，記為或者P()。泊松分布為二項(xiàng)分布的極限分布（np=λ，n→∞）。超幾何分布隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布，記為H(n,N,M)。幾何分布，其中p≥0，q=1-p。隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為G(p)。
均勻分布設(shè)隨機(jī)變量的值只落在[a，b]內(nèi)，其密度函數(shù)在[a，b]上為常數(shù)，即?a≤x≤b其他，則稱隨機(jī)變量在[a，b]上服從均勻分布，記為X~U(a，b)。分布函數(shù)為?a≤x≤b0，xb。?當(dāng)a≤x1x1時(shí)，有F（x2,y）≥F(x1,y);當(dāng)y2>y1時(shí)，有F(x,y2)≥F(x,y1);（3）F（x,y）分別對(duì)x和y是右連續(xù)的，即（4）（5）對(duì)于.（4）離散型與連續(xù)型的關(guān)系（5）邊緣分布離散型X的邊緣分布為；Y的邊緣分布為。
連續(xù)型X的邊緣分布密度為Y的邊緣分布密度為（6）條件分布離散型在已知X=xi的條件下，Y取值的條件分布為在已知Y=yj的條件下，X取值的條件分布為連續(xù)型在已知Y=y的條件下，X的條件分布密度為；在已知X=x的條件下，Y的條件分布密度為（7）獨(dú)立性一般型F(X,Y)=FX(x)FY(y)離散型有零不獨(dú)立連續(xù)型f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判斷，充要條件：①可分離變量②正概率密度區(qū)間為矩形
二維正態(tài)分布＝0隨機(jī)變量的函數(shù)若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互獨(dú)立，h,g為連續(xù)函數(shù)，則：h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互獨(dú)立。特例：若X與Y獨(dú)立，則：h（X）和g（Y）獨(dú)立。例如：若X與Y獨(dú)立，則：3X+1和5Y-2獨(dú)立。
（8）二維均勻分布設(shè)隨機(jī)向量（X，Y）的分布密度函數(shù)為其中SD為區(qū)域D的面積，則稱（X，Y）服從D上的均勻分布，記為（X，Y）～U（D）。例如圖3.1、圖3.2和圖3.3。y1D1O1x圖3.1yD211O2x
圖3.2yD3dcOabx圖3.3（9）二維正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)向量（X，Y）的分布密度函數(shù)為其中是5個(gè)參數(shù)，則稱（X，Y）服從二維正態(tài)分布，記為（X，Y）～N（由邊緣密度的計(jì)算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布仍為正態(tài)分布，即X～N（但是若X～N（，(X，Y)未必是二維正態(tài)分布。
（10）函數(shù)分布Z=X+Y根據(jù)定義計(jì)算：對(duì)于連續(xù)型，fZ(z)＝兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布（）。n個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。，Z=max,min(X1,X2,…Xn)若相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為，則Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布函數(shù)為：
分布設(shè)n個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可以證明它們的平方和的分布密度為我們稱隨機(jī)變量W服從自由度為n的分布，記為W～，其中所謂自由度是指獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)，它是隨機(jī)變量分布中的一個(gè)重要參數(shù)。分布滿足可加性：設(shè)則
t分布設(shè)X，Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且可以證明函數(shù)的概率密度為我們稱隨機(jī)變量T服從自由度為n的t分布，記為T～t(n)。F分布設(shè)，且X與Y獨(dú)立，可以證明的概率密度函數(shù)為我們稱隨機(jī)變量F服從第一個(gè)自由度為n1，第二個(gè)自由度為n2的F分布，記為F～f(n1,n2).第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征離散型連續(xù)型
（1）一維隨機(jī)變量的數(shù)字特征期望期望就是平均值設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，其分布律為P()＝pk，k=1,2,…,n，（要求絕對(duì)收斂）設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x)，（要求絕對(duì)收斂）函數(shù)的期望Y=g(X)Y=g(X)方差D(X)=E[X-E(X)]2，標(biāo)準(zhǔn)差，
矩①對(duì)于正整數(shù)k，稱隨機(jī)變量X的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階原點(diǎn)矩，記為vk,即νk=E(Xk)=,k=1,2,….②對(duì)于正整數(shù)k，稱隨機(jī)變量X與E（X）差的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階中心矩，記為，即=，k=1,2,….①對(duì)于正整數(shù)k，稱隨機(jī)變量X的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階原點(diǎn)矩，記為vk,即νk=E(Xk)=k=1,2,….②對(duì)于正整數(shù)k，稱隨機(jī)變量X與E（X）差的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階中心矩，記為，即=k=1,2,….切比雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望E（X）=μ，方差D（X）=σ2，則對(duì)于任意正數(shù)ε，有下列切比雪夫不等式切比雪夫不等式給出了在未知X的分布的情況下，對(duì)概率的一種估計(jì)，它在理論上有重要意義。
（2）期望的性質(zhì)（1）E(C)=C（2）E(CX)=CE(X)（3）E(X+Y)=E(X)+E(Y)，（4）E(XY)=E(X)E(Y)，充分條件：X和Y獨(dú)立；充要條件：X和Y不相關(guān)。（3）方差的性質(zhì)（1）D(C)=0；E(C)=C（2）D(aX)=a2D(X)；E(aX)=aE(X)（3）D(aX+b)=a2D(X)；E(aX+b)=aE(X)+b（4）D(X)=E(X2)-E2(X)（5）D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分條件：X和Y獨(dú)立；充要條件：X和Y不相關(guān)。D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，無條件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，無條件成立。（4）常見分布的期望和方差期望方差0-1分布p二項(xiàng)分布np泊松分布幾何分布超幾何分布均勻分布
指數(shù)分布正態(tài)分布n2nt分布0(n>2)（5）二維隨機(jī)變量的數(shù)字特征期望函數(shù)的期望＝＝方差協(xié)方差對(duì)于隨機(jī)變量X與Y，稱它們的二階混合中心矩為X與Y的協(xié)方差或相關(guān)矩，記為，即與記號(hào)相對(duì)應(yīng)，X與Y的方差D（X）與D（Y）也可分別記為與。
相關(guān)系數(shù)對(duì)于隨機(jī)變量X與Y，如果D（X）>0,D(Y)>0，則稱為X與Y的相關(guān)系數(shù)，記作（有時(shí)可簡記為）。||≤1，當(dāng)||=1時(shí)，稱X與Y完全相關(guān)：完全相關(guān)而當(dāng)時(shí)，稱X與Y不相關(guān)。以下五個(gè)命題是等價(jià)的：①；②cov(X,Y)=0;③E(XY)=E(X)E(Y);④D(X+Y)=D(X)+D(Y);⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y).協(xié)方差矩陣混合矩對(duì)于隨機(jī)變量X與Y，如果有存在，則稱之為X與Y的k+l階混合原點(diǎn)矩，記為；k+l階混合中心矩記為：（6）協(xié)方差的性質(zhì)(i)cov(X,Y)=cov(Y,X);(ii)cov(aX,bY)=abcov(X,Y);(iii)cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);(iv)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).
（7）獨(dú)立和不相關(guān)（i）若隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，則；反之不真。（ii）若（X，Y）～N（），則X與Y相互獨(dú)立的充要條件是X和Y不相關(guān)。第五章大數(shù)定律和中心極限定理（1）大數(shù)定律切比雪夫大數(shù)定律設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…相互獨(dú)立，均具有有限方差，且被同一常數(shù)C所界：D（Xi）
