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《證明與求解并重推理與運(yùn)算齊飛——“立體幾何”解答題復(fù)習(xí)》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
證明與求解并重推理與運(yùn)算齊飛——“立體幾何”解答題復(fù)習(xí)立體幾何是高考解答題的必考內(nèi)容,試題主要考查立體幾何的基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法和基本思想。通過(guò)空間直線、平面位置關(guān)系的論證,考查空間想象能力和推理論證能力。通過(guò)度量問(wèn)題的計(jì)算,考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力。近年來(lái),立體幾何在命題設(shè)計(jì)上不斷創(chuàng)新,本文結(jié)合最新的?？荚囶}介紹立體幾何命題趨勢(shì),供同學(xué)們復(fù)習(xí)備考?？枷蛞?、空間幾何體中的位置關(guān)系及度量問(wèn)題空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系通常以空間幾何體為載體考查平行、垂直關(guān)系的證明,一般出現(xiàn)在解答題的第(1)問(wèn),解答題的第(2)問(wèn)?？疾榍罂臻g角、體積、距離問(wèn)題。求解時(shí)可以用“綜合法”“向量法”,在具體解題時(shí)不一定只運(yùn)用一種方法,可以靈活選用,視情況而定。一般地,對(duì)于線面位置關(guān)系的“平行”與“垂直”的證明,可以選用“綜合法”直接處理,而對(duì)于空間角的有關(guān)計(jì)算,一般采用“向量法”更為方便與快捷。例1(2022年咸陽(yáng)市高三月考)如圖1,平面ABCD⊥平面DBNM,且菱形ABCD與菱形DBNM全等,∠MDB=∠DAB,G為MC的中點(diǎn)。圖1(1)求證:平面GBD∥平面AMN。(2)求直線AD與平面AMN所成角的正弦值。
1解析:(1)如圖2,連接AC交DB于E,連接GE,在△AMC中,G,E分別是CM,CA的中點(diǎn),所以GE∥AM。因?yàn)镚E?平面AMN,AM?平面AMN,所以GE∥平面AMN。在菱形DBNM中,MN∥BE,同理可證BE∥平面AMN。又因?yàn)锽E∩GE=E,所以平面GBD∥平面AMN。圖2(2)連接ME,因?yàn)榱庑蜛BCD與菱形DBNM全等且∠MDB=∠DAB,所以AD=AB=BD,DM=BD=MB,所以ME⊥BD。又平面ABCD⊥平面MNBD且相交于BD,所以ME⊥平面ABCD。
2圖3提醒:平行、垂直關(guān)系的證明,需要以空間直線、平面的位置關(guān)系為基礎(chǔ),建立和形成以公理、定義、判定、性質(zhì)為主線的立體幾何基礎(chǔ)知識(shí)體系。“空間向量”的引入,給我們處理立體幾何問(wèn)題提供了一種新的視角與更加有效的工具。用向量法解題的思路主要是:(1)分析問(wèn)題中的關(guān)鍵要素;(2)用向量表示相關(guān)要素;(3)進(jìn)行向量運(yùn)算求得向量的結(jié)果;(4)將向量結(jié)果翻譯成幾何結(jié)論。在平常練習(xí)中,應(yīng)多嘗試從不同角度解決立體幾何問(wèn)題,積累解題經(jīng)驗(yàn),這樣在考試中結(jié)合自身優(yōu)勢(shì)靈活選擇解題路徑,提升解題效率?？枷蚨?、平面圖形折疊成空間幾何體的問(wèn)題先將平面圖形折疊成空間幾何體,再以其為載體研究其中的線面之間的位置關(guān)系,以及與計(jì)算有關(guān)的幾何量是近幾年高考考查立體幾何的一類重要考向,它很好地將平面圖形拓展成空間圖形,同時(shí)也為空間立體圖形向平面圖形轉(zhuǎn)化提供了具體形象的途徑,是高考考查空間想象能力的主要方向。例2(2022年南京市高三月考)圖4是由正方形ABCD,Rt△ABE,Rt△CDF組成的一個(gè)等腰梯形,其中AB=2。將△ABE,△CDF分別沿AB,CD折起,使得E與F重合,如圖5。
3圖4圖5(1)設(shè)平面ABE∩平面CDE=l,證明:l∥CD;(2)若二面角A-BE-D的余弦值為,求AE的長(zhǎng)。解析:(1)因?yàn)镃D∥AB,AB在平面ABE內(nèi),CD?平面ABE,所以CD∥平面ABE。又CD?平面ECD,平面ABE∩平面ECD=l,所以l∥CD。(2)因?yàn)锳B∥CD,CD⊥DE,所以AB⊥DE。又AB⊥AE,DE∩AE=E,AE?平面ADE,DE?平面ADE,所以AB⊥平面ADE。因?yàn)锳B在平面ABCD內(nèi),所以平面ABCD⊥平面AED。過(guò)E作EO⊥AD于點(diǎn)O,則O是AD的中點(diǎn)。因?yàn)槠矫鍭BCD∩平面AED=AD,EO?平面ADE,所以EO⊥平面ABCD。
4圖6提醒:解決與折疊有關(guān)的問(wèn)題的關(guān)鍵是搞清折疊前后的變化量和不變量。一般情況下,長(zhǎng)度是不變量,而位置關(guān)系往往會(huì)發(fā)生變化,抓住不變量是解決問(wèn)題的突破口。解決翻折問(wèn)題的步驟:第一步,確定折疊前后各量之間的關(guān)系,搞清折疊前后的變化量和不變量;第二步,在折疊后的圖形中確定線和面的位置關(guān)系,明確需要用到的線面;第三步,利用判定定理或性質(zhì)定理進(jìn)行證明?？枷蛉?、線、面位置關(guān)系中的探索性問(wèn)題是否存在某點(diǎn)或某參數(shù),使得某種線、面位置關(guān)系成立問(wèn)題,是近幾年高考命題的熱點(diǎn),常在解答題的最后一問(wèn)中出現(xiàn),解決這類問(wèn)題的基本思路類似于反證法,即“在假設(shè)存在的前提下通過(guò)推理論證,如果能找到符合要求的點(diǎn)(或其他的問(wèn)題),就肯定這個(gè)結(jié)論;如果在推理論證中出現(xiàn)矛盾,就說(shuō)明假設(shè)不成立,從而否定這個(gè)結(jié)論”。例3(2022年湖北省重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)如圖7,等邊△ABC的邊長(zhǎng)為3,D,E分別是AB,BC上的點(diǎn),且滿足。如圖8,將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使得二面角A1-DE-B成直二面角,連接A1B,A1C。
5圖7圖8(1)求證:A1D⊥平面BCED。(2)在線段BC上是否存在點(diǎn)P,使得直線PA1與平面A1BD所成的角為60°?若存在,求出PB的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。解析:(1)在圖7中,由題得AE=2,AD=1,∠A=60°,在△ADE中,由余弦定理得DE==,故AD2+DE2=AE2,所以AD⊥DE,BD⊥DE。在圖8中,A1D⊥DE,BD⊥DE,所以∠A1DB為二面角A1-DE-B的平面角,又二面角A1-DE-B為直二面角,所以∠A1DB=90°,故A1D⊥DB。因?yàn)镈E∩DB=D,且DE,DB在平面BCED內(nèi),所以A1D⊥平面BCED。(2)由(1)可知ED⊥DB,A1D⊥平面BCDE。
6圖9提醒:立體幾何中的探究性問(wèn)題主要有兩類:一類是探究線面的位置關(guān)系;另一類是探究線面角或二面角滿足特定要求時(shí)的存在性問(wèn)題。處理原則是:先建立空間直角坐標(biāo)系,引入?yún)?shù)(有些是題中已給出),設(shè)出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo),然后探究這樣的點(diǎn)是否存在,或參數(shù)是否滿足要求,從而作出判斷。近年來(lái)高考數(shù)學(xué)對(duì)立體幾何部分試題命制,仍以考查主干知識(shí)和基本方法為主,難度適中。復(fù)習(xí)備考中,應(yīng)以扎實(shí)掌握基本立體圖形的結(jié)構(gòu)特征為基礎(chǔ),夯實(shí)“平行、垂直”的推理論證能力,提升“空間角、距離”等運(yùn)算的水平。養(yǎng)成良好的規(guī)范書(shū)寫(xiě)習(xí)慣,達(dá)到精準(zhǔn)、高效突破解答題的目的。
