四川省江油中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第三次階段考試數(shù)學(xué)（文） Word版含解析

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四川省江油中學(xué)2020級(jí)高三上期第三次階段考試文科數(shù)學(xué)試卷一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．1.已知集合，，則集合的元素個(gè)數(shù)為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合一元二次不等式求集合A，再利用集合的交集運(yùn)算求解.【詳解】∵，∴，即集合的元素個(gè)數(shù)為3.故選：C.2.若復(fù)數(shù)z滿足，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可求解.【詳解】由可得：.故選：D3.若，則的概率為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】區(qū)間長(zhǎng)度之比即為概率之比.【詳解】由，得，而，由幾何概型可知：的概率.故選：D

14.“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指對(duì)、數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合充分、必要條件分析判斷.【詳解】∵在上單調(diào)遞增，∴，又∵在R上單調(diào)遞增，∴，由可得，但由不能得到，例如，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.5.已知函數(shù)，則的大致圖象是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先函數(shù)的奇偶性排除兩個(gè)選項(xiàng)，在根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)位置及范圍內(nèi)的函數(shù)值正反，得最符合的函數(shù)圖象即可.【詳解】解：函數(shù)，定義域?yàn)?，所以所以函?shù)奇函數(shù)，故排除B，D選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，令得，所以函數(shù)最小正零點(diǎn)為，

2則，則符合圖象特點(diǎn)的是選項(xiàng)A，排除選項(xiàng)C.故選：A.6.如圖所示的程序框圖中，若輸出的函數(shù)值在區(qū)間內(nèi)，則輸入的實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)程序框圖，明確該程序功能是求分段函數(shù)的值，由此根據(jù)該函數(shù)值域，可求得答案.【詳解】由程序框圖可知：運(yùn)行該程序是計(jì)算分段函數(shù)的值，該函數(shù)解析式為：，輸出的函數(shù)值在區(qū)間內(nèi)，必有當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即得．故選∶C．7.為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（）A.向右平移個(gè)單位B.向左平移個(gè)單位C.向右平移個(gè)單位D.向左平移個(gè)單位

3【答案】D【解析】【分析】化簡(jiǎn)得到，根據(jù)圖象的平移得到答案.【詳解】.故向左平移個(gè)單位長(zhǎng)可以得到的圖像.故選：D.8.蟋蟀鳴叫可以說(shuō)是大自然優(yōu)美、和諧的音樂(lè)，殊不知蟋蟀鳴叫的頻率每分鐘鳴叫的次數(shù)與氣溫單位：存在著較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．某地觀測(cè)人員根據(jù)下表的觀測(cè)數(shù)據(jù)，建立了關(guān)于的線性回歸方程．則當(dāng)蟋蟀每分鐘鳴叫次時(shí)，該地當(dāng)時(shí)的氣溫預(yù)報(bào)值為（）次數(shù)分鐘A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求得樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)從而得到，然后將代入計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】，，則樣本中心點(diǎn)為，代入，可得，即，所以，當(dāng)時(shí)，．所以當(dāng)蟋蟀每分鐘鳴叫60次時(shí)，該地當(dāng)時(shí)的氣溫預(yù)報(bào)值為35．故選：C．9.等軸雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，與拋物線的準(zhǔn)線交于，兩點(diǎn)，，則的實(shí)軸長(zhǎng)為（）

4A.2B.22C.4D.8【答案】C【解析】【分析】設(shè)出雙曲線方程，求出拋物線的準(zhǔn)線方程，利用，即可求得結(jié)論.【詳解】解：設(shè)等軸雙曲線的方程為，拋物線，，則，，拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)等軸雙曲線與拋物線的準(zhǔn)線的兩個(gè)交點(diǎn)，，則，.將，代入，得，，等軸雙曲線的方程為，即，的實(shí)軸長(zhǎng)為.故選：C.10.已知定義在上的奇函數(shù)滿足，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由條件可得是周期函數(shù)，周期為4，然后可得答案.【詳解】因?yàn)槎x在上的奇函數(shù)滿足，所以，所以，所以是周期函數(shù)，周期為4

5所以故選：C11.已知，直線與y軸的交點(diǎn)為A，與x軸的交點(diǎn)為B，與的交點(diǎn)為C.當(dāng)四邊形OACB的面積取最小值時(shí)，點(diǎn)B到直線的距離是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出直線所過(guò)定點(diǎn)為得C點(diǎn)坐標(biāo)，再求出A，B點(diǎn)坐標(biāo)，寫(xiě)出四邊形面積，利用均值不等式求最小值，確定時(shí)，再由點(diǎn)到直線距離求解即可.【詳解】如圖，直線，都過(guò)點(diǎn)，即點(diǎn)C坐標(biāo)是.在中，令，得，所以，同理可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以當(dāng)時(shí)，四邊形OACB的面積取最小值.此時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，直線的方程是，

6點(diǎn)B到直線的距離是.故選：B.12.設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點(diǎn)，且在線段的垂直平分線上，則雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】依題意作圖，根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)和雙曲線的定義，列方程即可求解.【詳解】依題意，如圖：設(shè)M，N的中點(diǎn)為P，連接，則點(diǎn)P在以原點(diǎn)為圓心，半徑為c的圓上，并且有，；直線l的方程為，令，，由雙曲線的性質(zhì)可得，解得，在中，，在中，，

7解得，由于，，解得；故選：D.二、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．13.若滿足約束條件則的最大值為_(kāi)_______.【答案】5【解析】【分析】由約束條件做出可行域，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在軸的截距，采用數(shù)形結(jié)合的方式即可得到結(jié)果.【詳解】由約束條件可知，可行域如上圖所示，令，則，當(dāng)在軸的截距最小時(shí)，最大由，求得，則所以故答案為:14.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則________【答案】【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)求得首項(xiàng)和公差，從而可得出答案.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，

8則，解得，所以，.故答案為：3115.一束光線從點(diǎn)射出，經(jīng)軸上一點(diǎn)反射后到達(dá)圓上一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)____．【答案】【解析】【分析】由題知圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，設(shè)設(shè)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為，進(jìn)而結(jié)合，求解即可.【詳解】解：由題知：圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，如圖，設(shè)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，所以，的最小值為故答案為：

916.已知關(guān)于的不等式的解集為R，則的最大值是______．【答案】1【解析】【分析】首先分類討論時(shí)，不成立，當(dāng)時(shí)，等價(jià)為在R上恒成立，即于相切時(shí)，取得最大值，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解最大值即可.【詳解】由題知：，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為R，等價(jià)于不等式的解集為R，設(shè)，，即在R上為減函數(shù)，不符合題意.當(dāng)時(shí)，不等式的解集為R，等價(jià)于在R上恒成立，即于相切時(shí)，取得最大值.設(shè)的切點(diǎn)為，則，切線為，即，即.設(shè)，，所以，，為增函數(shù)，

10，，為減函數(shù).所以，即的最大值為1.故答案為：1三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.年四川持續(xù)出現(xiàn)高溫天氣，導(dǎo)致電力供應(yīng)緊張．某市電力局在保證居民生活用電的前提下，盡量合理利用資源，保障企業(yè)生產(chǎn)．為了解電力資源分配情況，在8月初，分別對(duì)該市A區(qū)和區(qū)各10個(gè)企業(yè)7月的供電量與需求量的比值進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果用莖葉圖表示如圖．不受影響受影響合計(jì)A區(qū)B區(qū)合計(jì)（1）求區(qū)企業(yè)7月的供電量與需求量的比值的中位數(shù)；（2）當(dāng)供電量與需求量的比值小于時(shí)，生產(chǎn)要受到影響，統(tǒng)計(jì)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，填寫(xiě)2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為生產(chǎn)受到影響與企業(yè)所在區(qū)有關(guān)？附：【答案】（1）0.86；（2）2×2列聯(lián)表見(jiàn)解析，沒(méi)有95%的把握.【解析】

11【分析】（1）根據(jù)莖葉圖中數(shù)據(jù)及中位數(shù)的概念直接計(jì)算得解；（2）由莖葉圖判定不受影響、受影響的企業(yè)數(shù)，據(jù)此列出2×2列聯(lián)表，計(jì)算得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】A區(qū)供電量與需求量的比值由小到大排列，第5個(gè)數(shù)，第6個(gè)數(shù)分別為，所以所求中位數(shù)為；【小問(wèn)2詳解】2×2列聯(lián)表：不受影響受影響合計(jì)區(qū)7310區(qū)4610合計(jì)11920沒(méi)有95%的把握認(rèn)為生產(chǎn)有影響與企業(yè)所在區(qū)有關(guān).18.已知在等差數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和為且求的取值范圍.【答案】（1）；（2），.【解析】分析】（1）由條件求得公差，寫(xiě)出通項(xiàng)公式；（2）求出通項(xiàng)公式，利用分組求和求得，且單增，找到符合的最小n值即可.【詳解】（1）由等差數(shù)列性質(zhì)知，，則，故公差，故（2）由（1）知，

12易知單調(diào)遞增，且，，故，解得，.19.設(shè)內(nèi)角所對(duì)邊分別為，已知，．（1）若，求的周長(zhǎng)；（2）若邊的中點(diǎn)為，且，求的面積．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，結(jié)合的邊長(zhǎng)，即可求得，以及三角形周長(zhǎng)；（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合余弦定理求得，再根據(jù)三角形的中線的向量表示，求得，結(jié)合三角形面積公式即可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】∵，∴，∴，因?yàn)?，故，即，解得（舍）或；則，故△的周長(zhǎng)為.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，又，故，又，則；因?yàn)檫叺闹悬c(diǎn)為，故，故，

13即，即；聯(lián)立與可得，故△的面積.20.已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為．（1）求橢圓的離心率和的面積；（2）已知直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為．判斷直線是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)?若存在，求出這個(gè)定點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，理由見(jiàn)詳解.【解析】【分析】（1）由橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，代入橢圓方程求得，結(jié)合，解得的值，進(jìn)而求得離心率和的面積；（2）由直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則說(shuō)明斜率存在，所以分，，進(jìn)行討論找出直線過(guò)得點(diǎn).【小問(wèn)1詳解】由題意，橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可得，解得，即橢圓，因?yàn)?，即，所以橢圓的離心率為，又由左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，所以，所以面積為

14【小問(wèn)2詳解】由直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)所以當(dāng)時(shí)，直線為與橢圓交于A，B兩點(diǎn)由解得：令，此時(shí)所以所以直線即，令所以直線是經(jīng)過(guò)定點(diǎn)同理若，則令所以直線是經(jīng)過(guò)定點(diǎn)當(dāng)時(shí)，由直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)設(shè)聯(lián)立方程組，整理得，則，所以設(shè)點(diǎn)，所以

15的方程為，令，可得，所以直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，綜上可得，直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn).21.已知函數(shù)．（1）求證：；（2）證明：當(dāng)，時(shí)，．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可證得；（2）由可得，利用導(dǎo)數(shù)證即可.【小問(wèn)1詳解】的定義域?yàn)?，，由得，由?

16則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，得證.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，令，則，∴，∴，∴下面證明時(shí)，，令，則，在上單調(diào)遞增，，時(shí)，，時(shí)，，.（二）選做題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題記分．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在平面直角坐標(biāo)中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求曲線的普通方程和極坐標(biāo)方程；（2）在平面直角坐標(biāo)中，若過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與曲線交于兩點(diǎn)，求證：成等差數(shù)列．

17【答案】（1），（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用消參法求曲線的普通方程，并注意y的取值范圍，再利用求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）先求直線l的參數(shù)方程，根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義運(yùn)算求解.【小問(wèn)1詳解】由得，代入整理得，即，∵，則，，故曲線的普通方程為，又∵，則，整理得曲線的極坐標(biāo)方程為【小問(wèn)2詳解】由題意可得：直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），代入，整理得，∴，，則，即，∴成等差數(shù)列選修4-5：不等式選講23.已知函數(shù)．

18（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）當(dāng)函數(shù)的最小值為時(shí)，求的最大值．【答案】（1）；（2）5.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，分類討論求解即可；（2）結(jié)合絕對(duì)值三角不等式得，進(jìn)而根據(jù)柯西不等式求解即可.【小問(wèn)1詳解】解：由題知，，或或解得或或所以，的解集為，【小問(wèn)2詳解】解：由絕對(duì)值三角不等式得：當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，因?yàn)楹瘮?shù)的最小值為，所以，，所以，由柯西不等式得當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．所以，的最大值為．

19