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《重慶市長壽中學(xué)校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)Word版含解析.docx》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
重慶市長壽中學(xué)校2024屆高二下·半期考試數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.設(shè)數(shù)列的前項和，則的值為（）A.8B.9C.10D.11【答案】D【解析】【分析】利用求解即可.【詳解】，，故.故選：D2.函數(shù)的定義域為開區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極小值點（）A.個B.個C.個D.個【答案】A【解析】【分析】觀察函數(shù)在內(nèi)的圖象與軸有四個公共點，利用極小值點的定義分析得解.【詳解】解：由導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖象可知，函數(shù)在內(nèi)的圖象與軸有四個公共點，
在從左到右第一個交點處導(dǎo)數(shù)左正右負，它是極大值點；在從左到右第二個交點處導(dǎo)數(shù)左負右正，它是極小值點；在從左到右第三個交點處導(dǎo)數(shù)左正右正，它不是極值點；在從左到右第四個交點處導(dǎo)數(shù)左正右負，它是極大值點.所以函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的極小值點有個.故選：A.3.若函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為2，則（）A.2B.1C.D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由導(dǎo)數(shù)的定義，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可得，函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為2，則.故選：B4.函數(shù)的圖象如圖所示，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由圖象的變化趨勢，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的定義有，即可得答案.【詳解】由圖知：，即.故選：A5.1至10中的質(zhì)數(shù)能夠組成的所有沒有重復(fù)數(shù)字的整數(shù)的個數(shù)為（）A.4B.12C.24D.64【答案】D【解析】
【分析】先找出1至10中的所有質(zhì)數(shù)，然后將這些質(zhì)數(shù)可以組成的整數(shù)分類，最后利用分類加法計數(shù)原理即可得解．【詳解】1至10中質(zhì)數(shù)有2，3，5，7，由2，3，5，7組成的沒有重復(fù)數(shù)字的整數(shù)可以為一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)，這4個數(shù)字可組成的一位數(shù)有（個），可組成的沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)有（個），可組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有（個），可組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有（個），則1至10中的質(zhì)數(shù)能夠組成的所有沒有重復(fù)數(shù)字的整數(shù)的個數(shù)為．故選：D．6.四色定理又稱四色猜想，是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一．它是于1852年由畢業(yè)于倫敦大學(xué)的格斯里提出來的，其內(nèi)容是“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色”．某校數(shù)學(xué)興趣小組在研究給四棱錐的各個面涂顏色時，提出如下的“四色問題”：要求相鄰面（含公共棱的面）不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的涂法有（）A.36種B.72種C.48種D.24種【答案】B【解析】【分析】利用分步乘法原理和分類加法原理分析求解【詳解】依次涂色，底面ABCD的涂色有4種選擇，側(cè)面PAB的涂色有3種選擇，側(cè)面PBC的涂色有2種選擇．①若側(cè)面PCD與側(cè)面PAB所涂顏色相同，則側(cè)面PAD的涂色有2種選擇；②若側(cè)面PCD與側(cè)面PAB所涂顏色不同，則側(cè)面PCD的涂色有1種選擇，側(cè)面PAD的涂色有1種選擇．綜上，不同的涂法種數(shù)為．故選：B．
7.已知函數(shù)，則“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞減”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】函數(shù)在上單調(diào)遞減，即在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，即可得實數(shù)的取值范圍，再結(jié)合充分不必要條件的定義，判斷即可．【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞減，則在上恒成立，所以在上恒成立，設(shè)函數(shù)，則，令，解得或（舍去），所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以．所以“”是“”的充分不必要條件，即”是“函數(shù)在上單調(diào)遞減”的充分不必要條件．故選：A．8.已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則關(guān)于
不等式的解集為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造新函數(shù)，利用已知不等式可得的單調(diào)性，從而可解不等式．【詳解】涉及函數(shù)定義域為，設(shè)，則，∵，∴，∴在上單調(diào)遞增，不等式可化為，即，所以，，又，得，∴原不等式的解為．故選：A．【點睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)解不等式，解題關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性解不等式，新函數(shù)需根據(jù)已知條件和需要解的不等式確定，簡單的有，，，，等等，復(fù)雜點的如，或，象本題難度更大．注意平時的積累．二、多項選擇題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分）9.下列各式的運算結(jié)果中，等于的有（）A.B.C.D.【答案】AC
【解析】【分析】應(yīng)用排列數(shù)公式將各選項展開化簡，即可判斷是否等于.【詳解】A，，故正確；B，，故錯誤；C，，故正確；D，，故錯誤．故選：AC．10.對于定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，為其導(dǎo)函數(shù)，下列說法不正確的是（）A.使的x一定是函數(shù)的極值點B.在上單調(diào)遞增是在上恒成立的充要條件C.函數(shù)的切線與函數(shù)可以有兩個公共點D.若函數(shù)既有極小值又有極大值，則其極小值一定不會比它的極大值大【答案】ABD【解析】【分析】通過反例可判斷ABD，C可以通過函數(shù)，,，進行判斷．【詳解】對于A，的不一定是函數(shù)的極值點，比如在處導(dǎo)函數(shù)的值為0，但不是的極值點，故A錯誤；在上單調(diào)遞增，可能會在某點導(dǎo)函數(shù)等于0，比如為上的單調(diào)遞增函數(shù)，在處的導(dǎo)函數(shù)值為0，故在上單調(diào)遞增不是在上恒成立的充要條件，故B錯誤；對于C，，,，在點,處的切線與函數(shù)有兩個公共點，故C正確；對于D，若函數(shù)既有極小值又有極大值，則其極小值可能會比它的極大值大，比如，在處取得極大值，在處取得極小值2，極小值大于極大值，故D錯誤；故選：ABD．
11.已知函數(shù)，則（）A.當(dāng)時，函數(shù)的極大值為B.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則或C.函數(shù)必有兩個極值點D.函數(shù)必有三個零點【答案】ACD【解析】【分析】求導(dǎo)即可判斷A，將問題轉(zhuǎn)化為恒成立即可判斷BC，根據(jù)零點的定義即可判斷D.【詳解】對于A，當(dāng)時，，則，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則函數(shù)的極大值為，故A正確；對于B，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則恒成立，由，可得必有兩根，且，則在單調(diào)遞減，故B錯誤；對于C，由B選項可知，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故函數(shù)必有兩個極值點，故C正確；對于D，，而，其中，則必有兩相異實根，且不為0，故必有3個零點，故D正確；故選：ACD12.設(shè)函數(shù)（），則（）A.當(dāng)時，存在唯一極值點B.當(dāng)時，C.當(dāng)時，在上單調(diào)遞增D.當(dāng)時，存在唯一實數(shù)使得函數(shù)恰有兩個零點
【答案】ABD【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)性，確定最值以及極值點判斷AB；由導(dǎo)數(shù)判斷C；由函數(shù)的單調(diào)性確定恰有兩個解，再構(gòu)造函數(shù)，得出其單調(diào)性，進而證明的唯一性.【詳解】當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故A，B正確；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，C錯誤；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，所以恰有兩個解，即，令，則，，單調(diào)遞減，由且知，存在使得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由且知，存在唯一的使得，故D正確.故選：ABD【點睛】證明函數(shù)的單調(diào)性可以采用求導(dǎo)的方式，在證明函數(shù)只有一個零點時，先由導(dǎo)數(shù)得出其單調(diào)性結(jié)合零點存在性定理得出只有一個零點.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.數(shù)列中，若，且，則__________.【答案】【解析】
【分析】利用等差數(shù)列通項公式可直接求得結(jié)果.【詳解】由，知：數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，.故答案為：.14.的值為________．【答案】696【解析】【分析】根據(jù)排列數(shù)的性質(zhì)可求得，即可計算.【詳解】由已知可得，解得，所以.故答案為：696.15.曲線在處切線的傾斜角是______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意，求導(dǎo)得，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)切線的傾斜角為，因為，則，且，則，所以曲線在處切線的傾斜角是.故答案為：16.已知，，直線與曲線相切，則的最小值是______.【答案】4【解析】【分析】根據(jù)題意，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義代入計算可得，然后結(jié)合基本不等式即可得到結(jié)果.【詳解】因為，則，令，可得，然后將代入，可得
，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號.所以的最小值是.故答案為：四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.從0-9這10個數(shù)字取出3個數(shù)字，試問：（1）有多少個沒有重復(fù)數(shù)字的排列方法？（2）能組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？（3）能組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)奇數(shù)？（注：要有適當(dāng)?shù)奈淖终f明，最終結(jié)果用數(shù)字表示）【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合排列數(shù)公式，即可求解；（2）根據(jù)題意，分別求得每一位數(shù)字都不是0的三位數(shù)、個位數(shù)字是0的三位數(shù)和十位數(shù)字是0的三位數(shù)，結(jié)合分類計數(shù)原理，即可求解；（3）可分為五類：當(dāng)個位數(shù)字是1時，且百位不能為0、個位數(shù)字是3時，且百位不能為0、個位數(shù)字是5時，且百位不能為0、個位數(shù)字是7時，且百位不能為0、個位數(shù)字是9時，且百位不能為0的三位數(shù)，結(jié)合分類計數(shù)原理，即可求解．【小問1詳解】解：從這10個數(shù)字取出3個數(shù)字排成一列有種．【小問2詳解】解：由題意，第一類：每一位數(shù)字都不是0的三位數(shù)有個；第二類：個位數(shù)字是0的三位數(shù)有個；第三類：十位數(shù)字是0的三位數(shù)有個根據(jù)分類計數(shù)原理，能組成個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．【小問3詳解】
解：由題意，第一類：當(dāng)個位數(shù)字是1時，且百位不能為0的三位數(shù)有個；第二類：當(dāng)個位數(shù)字是3時，且百位不能為0的三位數(shù)有個；第三類：當(dāng)個位數(shù)字是5時，且百位不能為0的三位數(shù)有個；第四類：當(dāng)個位數(shù)字是7時，且百位不能為0的三位數(shù)有個；第五類：當(dāng)個位數(shù)字是9時，且百位不能為0的三位數(shù)有個；根據(jù)分類計數(shù)原理，能組成個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)奇數(shù)．18.已知函數(shù).（1）設(shè)為偶函數(shù)，當(dāng)時，，求曲線在點處的切線方程；（2）設(shè)，求函數(shù)的極值.【答案】（1）（2）的最大值是；無極小值【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性可得，然后求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可得到結(jié)果.（2）根據(jù)題意，求導(dǎo)得，然后分與談?wù)?，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】時，，是偶函數(shù)，故，，故，故切線方程是：，即；【小問2詳解】，
，時，，在遞增，函數(shù)無極值，時，令，解得：，令，解得：，故在遞增，在遞減，故的最大值是；無極小值；19.已知函數(shù)在處有極值10.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求在上的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）10.【解析】【分析】（Ⅰ）由題意可得，解出的值，驗證需滿足在兩側(cè)的單調(diào)性相反，即導(dǎo)數(shù)異號才為極值點，即可確定的值；（Ⅱ）對函數(shù)進行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間，求出端點值以及極值，比較大小即可確定函數(shù)在上的最小值．【詳解】（Ⅰ）若函數(shù)在處有極值為10，則或，當(dāng)時，，，所以函數(shù)有極值點；當(dāng)時，，所以函數(shù)無極值點；所以（Ⅱ），
由得所以令，得或；令得所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減．，，所以最小值為10.【點睛】本題考查函數(shù)在某點取極值的條件以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，考查學(xué)生基本的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．20.某學(xué)校高二年級一個學(xué)習(xí)興趣小組進行社會實踐活動，決定對某“著名品牌”系列進行市場銷售量調(diào)研，通過對該品牌的系列一個階段的調(diào)研得知，發(fā)現(xiàn)系列每日的銷售量（單位：千克）與銷售價格（元/千克）近似滿足關(guān)系式，其中，為常數(shù).已知銷售價格為6元/千克時，每日可售出系列15千克.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若系列的成本為4元/千克，試確定銷售價格的值，使該商場每日銷售系列所獲得的利潤最大.【答案】（1）；（2）當(dāng)銷售價格為5元/千克時，系列每日所獲得的利潤最大.【解析】【詳解】分析：（1）根據(jù)題意已知銷售價格為6元/千克時，每日可售出系列15千克.即可求出a得到解析式；（2）設(shè)該商場每日銷售系列所獲得的利潤為，然后根據(jù)利潤計算式得出具體表達式，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)求最值思維求解即可.詳解：（1）有題意可知，當(dāng)時，，即，解得，所以.（2）設(shè)該商場每日銷售系列所獲得的利潤為，則，，
令，得或（舍去），所以當(dāng)時，為增函數(shù)；當(dāng)時，為減函數(shù)，故當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極大值點，也是最大值點，即時函數(shù)取得最大值.所以當(dāng)銷售價格為5元/千克時，系列每日所獲得的利潤最大.點睛：考查函數(shù)的表示，導(dǎo)函數(shù)最值的應(yīng)用，正確理解題意，寫出具體表達式，然后借助導(dǎo)數(shù)分析思維求解是解題關(guān)鍵，做此類題要有耐心，認真審題，讀懂題意，屬于中檔題.21.已知函數(shù)，，其中常數(shù).（1）當(dāng)時，試判斷的單調(diào)性；（2）若在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，若存在，對任意的，總有成立，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）在上單調(diào)遞增函數(shù)；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）把代入，求出導(dǎo)數(shù)并判斷導(dǎo)數(shù)正負作答.（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用給定的單調(diào)性建立恒成立的不等式，再求解作答.（3）把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上的最大值不小于函數(shù)在上的最大值求解作答.【小問1詳解】當(dāng)時，，定義域為，因為在定義域上恒成立，所以在上是單調(diào)遞增函數(shù).【小問2詳解】
函數(shù)的定義域為，由于在上為增函數(shù)，則有對恒成立，即對恒成立，因當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值2，即取得最大值，所以，即實數(shù)a的取值范圍.【小問3詳解】依題意，存在，對任意的，總有成立，等價于函數(shù)在上的最大值不小于函數(shù)在上的最大值，當(dāng)時，，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，函數(shù)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)遞減，因此，，由二次函數(shù)的圖象開口向上知，函數(shù)在上的最大值，于是，，，則，所以實數(shù)m的取值范圍為.22.已知函數(shù),其中．（1）當(dāng)時,求曲線在點處切線方程;（2）當(dāng)時,判斷的零點個數(shù),并加以證明;（3）當(dāng)時,證明:存在實數(shù)m,使恒成立．【答案】（1）
（2）1個（3）證明見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)代入解析式,求出,根據(jù)點斜式寫出切線方程即可;(2)對函數(shù)求導(dǎo)求單調(diào)性,觀察到,根據(jù)單調(diào)性分析零點個數(shù)即可;(3)先對函數(shù)求導(dǎo),再通分,令再對新函數(shù)求導(dǎo)判斷單調(diào)性即值域情況,分析的正負,即的正負,進而求出的單調(diào)性及最值,若恒成立,只需即可,有最小值,即存在實數(shù)m,使恒成立.【小問1詳解】解:由題知,,,,故在點處的切線方程為,即;【小問2詳解】由題,,,,,故在上單調(diào)遞增,,故有1個零點;【小問3詳解】由題,,
,令,,即在上單調(diào)遞增,,且,故,使得,即在上單調(diào)遞增,即,單調(diào)遞減,即,單調(diào)遞增,故,若恒成立,只需,即即可,故存在實數(shù)m,使恒成立.【點睛】方法點睛:此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,屬于難題,應(yīng)用了隱零點,關(guān)于隱零點的方法有:
(1)對函數(shù)進行求導(dǎo)后,進行因式分解,寫成幾個因式的乘積;(2)然后將容易判斷正負的先進行判斷,不好判斷的令為一個新的函數(shù);(3)對新的函數(shù)進行求導(dǎo)求單調(diào)性;(4)取區(qū)間內(nèi)的點代入新函數(shù)中判斷函數(shù)值正負,直到函數(shù)值相互異號為止;(5)根新函數(shù)的單調(diào)性即可判斷在區(qū)間內(nèi)有零點,設(shè)為,判斷左右兩側(cè)的新函數(shù)的函數(shù)值正負,即可判斷原函數(shù)的單調(diào)性求出最值.
