浙江省浙北G2聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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浙北G2期中聯(lián)考2023學(xué)年高二第一學(xué)期考試數(shù)學(xué)試題考生須知：1.全卷分試卷和答卷.試卷4頁(yè)，答卷4頁(yè)，共8頁(yè).滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.本卷的答案必須做在答卷的相應(yīng)位置上，做在試卷上無(wú)效.3.請(qǐng)用鋼筆或水筆將班級(jí)?姓名?試場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)分別填寫(xiě)在答卷的相應(yīng)位置上.4.本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分.試卷一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用直線的斜率與傾斜角的關(guān)系即可得出．【詳解】解:設(shè)直線的傾斜角為，將直線的方程變?yōu)?，所以直線的斜率，即，又因?yàn)?，所以．故選：D．2.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱點(diǎn)的橫，縱，豎坐標(biāo)的關(guān)系求解即可. 【詳解】點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱點(diǎn)，橫坐標(biāo)，豎坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù)則對(duì)稱點(diǎn)故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了求關(guān)于坐標(biāo)平面對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，屬于基礎(chǔ)題.3.下列方程是圓的切線方程的是A.B.C.D.【答案】C【解析】【詳解】試題分析：已知圓的圓心為，半徑為1，圓心只有到直線的距離為1，即此直線與圓相切．故選C．考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系．4.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由正弦定理角化邊，再利用余弦定理可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，由正弦定理得，即，由余弦定理得．因?yàn)椋裕蔬x：B.5.平行六面體中，，，，，則線段的長(zhǎng)度是（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，根據(jù)向量數(shù)量積定義和運(yùn)算律可求得，由此可得結(jié)果.【詳解】，，，即線段的長(zhǎng)度為.故選：D.6.已知分別是橢圓的左?右兩個(gè)焦點(diǎn)，若該橢圓上存在點(diǎn)滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由，分別是橢圓：的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，求得m的范圍，當(dāng)點(diǎn)位于短軸端點(diǎn)時(shí)，取最大值，要使上存在點(diǎn)滿足，則的最大值大于或等于，從而可得答案.【詳解】解：由，分別是橢圓：的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，則，當(dāng)點(diǎn)位于短軸端點(diǎn)時(shí)，取最大值， 要使上存在點(diǎn)滿足，則的最大值大于或等于，即點(diǎn)位于短軸端點(diǎn)時(shí)，大于或等于，則，解得．故選：A.7.如圖，在三棱柱中，底面為正三角形，側(cè)棱垂直于底面，.若E是棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】以為基底表示出，利用向量夾角公式計(jì)算出異面直線與所成角的余弦值.【詳解】設(shè)，則構(gòu)成空間的一個(gè)基底， ，，.所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查異面直線所成角的求法，屬于中檔題.8.已知為雙曲線的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線分別交兩條漸近線于兩點(diǎn).若，且，則該雙曲線的離心率是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)勾股關(guān)系確定進(jìn)而可得，結(jié)合與漸近線的傾斜角的倍角關(guān)系求解. 【詳解】不妨設(shè)的傾斜角為銳角，因?yàn)?，所以，所以漸近線的傾斜角取值范圍為，所以,所以，所以，又因?yàn)?，所以，在直角三角形中?設(shè)直線的斜率為，所以，所以，解得或（舍），所以，所以該雙曲線的離心率為，故選：A.二?多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，至少有兩個(gè)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.若直線與圓C：相交于A，B兩點(diǎn)，則的長(zhǎng)度可能等于（） A.2B.3C.4D.5【答案】CD【解析】【分析】首先找到直線所過(guò)定點(diǎn)，根據(jù)直線所截圓的弦長(zhǎng)公式求出弦長(zhǎng)的取值范圍，進(jìn)而求出的長(zhǎng)度可能的取值.【詳解】已知直線恒過(guò)點(diǎn)，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑.當(dāng)直線經(jīng)過(guò)圓心時(shí)，所得弦長(zhǎng)最大，；當(dāng)直線與所在直線垂直時(shí)，所得弦長(zhǎng)最小，，因此可得：，故的長(zhǎng)度可能等于4或5.故選：CD10.若是空間的一個(gè)基底，則下列向量組可以作為空間的基底的是（）A.、、B.、、C.、、D.、、【答案】BC【解析】【分析】利用空間向量基底的概念判斷可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)槭强臻g的一個(gè)基底，對(duì)于A選項(xiàng)，，則、、共面，A不滿足；對(duì)于B選項(xiàng)，假設(shè)、、共面，則存在、，使得，所以，、、共面，矛盾，假設(shè)不成立，所以，、、可以構(gòu)成空間中的一組基底，B滿足；對(duì)于C選項(xiàng)，假設(shè)、、共面，則存、，使得， 因?yàn)槭强臻g的一個(gè)基底，則，該方程組無(wú)解，所以，假設(shè)不成立，故、、可以構(gòu)成空間中的一組基底，C滿足；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，則、、共面，D不滿足.故選：BC.11.已知為橢圓的右焦點(diǎn)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，直線與橢圓交于另一點(diǎn)，則（）A.的最小值為B.周長(zhǎng)的最小值為16C.的最大值為9D.直線與的斜率之積為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及橢圓的定義和橢圓的幾何性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由橢圓的方程，可得，則，對(duì)于A中，因?yàn)榻?jīng)過(guò)橢圓的交點(diǎn)，由橢圓的性質(zhì)，可得通徑最短，其中通徑長(zhǎng)為，所以的最小值為，所以A正確；對(duì)于B中，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，可得，由橢圓的定義可得，又由過(guò)原點(diǎn)的直線交得橢圓的弦長(zhǎng)中，短軸長(zhǎng)最短，其中短軸長(zhǎng)為，所以周長(zhǎng)的最小值為，所以B正確；設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，由橢圓根據(jù)橢圓的性質(zhì)，可得，此時(shí)直線的斜率為， 因?yàn)橹本€斜率不為，所以，所以C不正確；設(shè)，則，則在的斜率都存時(shí)，可得，則，所以D正確.故選：ABD.12.如圖，直三棱柱中，，，．點(diǎn)P在線段上（不含端點(diǎn)），則（）A.存點(diǎn)P，使得B.的最小值為有C.面積的最小值為D.三棱錐與三棱錐的體積之和為定值【答案】ACD【解析】【分析】以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)，其中點(diǎn)坐標(biāo)，可設(shè)（），即可得出. 對(duì)于A選項(xiàng)，要使，即，得到關(guān)于的方程，解方程即可；對(duì)于B選項(xiàng)，將和沿展開(kāi)，連接，的最小值即的長(zhǎng)度，利用銳角三角函數(shù)和兩角和的余弦公式求出，再由余弦定理即可得到；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)（），利用向量的夾角公式求得，由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系得到，代入三角形面積公式：，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)討論最值即可；對(duì)于D選項(xiàng)，利用等體積法得，即可求解.【詳解】由題意得，，即，又在直三棱柱中，底面，平面，平面，，，則以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)椋?，所以，，，，，，，則，，設(shè)（），則，解得，，，所以，對(duì)于A選項(xiàng)，，，要使，即，解得，當(dāng)，即在中點(diǎn)時(shí)，，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，如圖所示，將和沿展開(kāi)，如圖所示，連接交于點(diǎn)，可知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)取得最小值， 由題意得，，，，，，所以，，，，則，在中，由余弦定理得，，則，所以的最小值為，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，，設(shè)（），則，即，所以，則，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取得最小值，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，故D選項(xiàng)正確，故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)的相關(guān)線段的位置關(guān)系、線段長(zhǎng)度、面積和體積的最值問(wèn)題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用. 解答本題關(guān)鍵在于建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法解決空間的中的相關(guān)問(wèn)題，同時(shí)對(duì)于轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，利用兩點(diǎn)之間線段最短求距離的最值，本題中B選項(xiàng)，將和沿展開(kāi)，利用兩點(diǎn)之間的線段最短，，求解即可.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.雙曲線的漸近線方程是__________．【答案】【解析】【詳解】根據(jù)雙曲線的漸近線公式得到故答案為.14.若直線與直線平行，則與間的距離是__________.【答案】##【解析】【分析】利用兩直線平行求出實(shí)數(shù)的值，再利用平行線間的距離公式可求得與間的距離.【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行，則，解得，所以，直線的方程可化為，直線的方程可化為，因此，與間的距離是.故答案為：.15.如圖，正四棱柱中，設(shè)，點(diǎn)在線段上，且，則直線與平面所成角的正弦值是__________. 【答案】##【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，求出線面角的正弦值.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故， 設(shè)直線與平面所成角大小為，則，故答案為：16.若對(duì)任意，直線與圓：均無(wú)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】由題意可得出圓心到直線的距離，化簡(jiǎn)為，解不等式即可得出答案.【詳解】圓：的圓心，，由題意，圓心到直線的距離，所以，或，即或?qū)θ我夂愠闪ⅲ磳?duì)任意恒成立，所以，所以，解得：．故答案為：. 四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17已知直線過(guò)點(diǎn).（1）若直線與直線垂直，求直線的方程；（2）若直線分別與軸的正半軸，軸的正半軸交于、兩點(diǎn)，為原點(diǎn).若的面積為，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）與直線垂直的直線的方程可設(shè)為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程，求出的值，即可得出直線的方程；（2）設(shè)直線的方程為，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，即可得出直線的方程.【小問(wèn)1詳解】解：與直線垂直的直線的方程可設(shè)為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程得，解得，所以直線的方程為.【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)直線的方程為，由題意可的，解的，所以直線的方程為，即.18.在平面直角坐標(biāo)系中，圓過(guò)點(diǎn)，且圓心在上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)的坐標(biāo)為，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程. 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)圓心坐標(biāo)，由，可構(gòu)造方程求得圓心坐標(biāo)和半徑，由此可得圓的方程；（2）設(shè)，，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，利用點(diǎn)坐標(biāo)表示出點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓方程即可得到所求軌跡方程.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)樵谏?，所以設(shè)圓心，又因?yàn)閳A過(guò)點(diǎn)，所以，得：，則半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)中點(diǎn)，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，因?yàn)辄c(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，所以代入，化簡(jiǎn)得：.所以線段的中點(diǎn)的軌跡方程為：.19.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期及其所有的對(duì)稱軸；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.【答案】（1），（）（2）.【解析】【分析】（1）利用降冪公式及輔助角公式變形，進(jìn)一步計(jì)算即可； （2）結(jié)合函數(shù)解析式，求出變量范圍，找到最小值點(diǎn)，進(jìn)行計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】由題意得所以.又得，，故所有的對(duì)稱軸為（）.【小問(wèn)2詳解】由，得，所以當(dāng)即時(shí)，.20.已知雙曲線的右焦點(diǎn)，離心率為.（1）求雙曲線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，求證：為定值.【答案】20.；21.證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)，離心率列出方程組，求出，即可寫(xiě)出雙曲線方程.（2）先根據(jù)題意可判斷直線AB的斜率存在且不為0,結(jié)合過(guò)點(diǎn)設(shè)出直線方程；再與雙曲線方程聯(lián)立得到兩根之和、兩根之積；最后表示出，結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)即可證明結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】 由題意得，解得，所以雙曲線的方程為.【小問(wèn)2詳解】由題意得直線AB的斜率存在且不為0.設(shè)直線方程為，，.聯(lián)立，消去得，所以.，又，.21.如圖，在四棱錐中，四邊形是直角梯形，且，，，，，是正三角形.（1）求證：；（2）求平面與平面所成角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析 （2）【解析】分析】（1）取中點(diǎn)，連接，，，利用線線垂直證明線面垂直；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求面面夾角.【小問(wèn)1詳解】取的中點(diǎn)，連接，，，是正三角形，，在直角梯形中，，，，是正三角形，，又，平面，而平面，；【小問(wèn)2詳解】以為原點(diǎn)，，所在直線為軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系. 則，，，，設(shè)由題意可得，，故，解得，所以，則，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，，，平面的法向量，則，令，則，，平面與平面所成角的余弦值為.22.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，軸，垂足為，連結(jié)并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）證明：是直角三角形；（3）求面積的最大值.【答案】22.；23.證明見(jiàn)解析；24.【解析】【分析】（1）根據(jù)長(zhǎng)軸長(zhǎng)求出a，結(jié)合求出b，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分別求出，并得到，進(jìn)而得到即可得證；（3）分別求出，寫(xiě)出面積后利用均值不等式求解.【小問(wèn)1詳解】，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，則，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：【小問(wèn)2詳解】設(shè)，所以，，，所以，所以是直角三角形【小問(wèn)3詳解】直線，代入， 得：，所以又，所以，則因?yàn)樵谏?，所以又，故令，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.所以面積的最大值為.