四川省綿陽市三臺(tái)縣三臺(tái)中學(xué)校2023-2024學(xué)年高三一模數(shù)學(xué)（理）（二） Word版含解析.docx

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三臺(tái)中學(xué)高2021級(jí)高三上期一診模擬試題（二）數(shù)學(xué)（理）試卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式可得，即可求交集.【詳解】由解得，所以，所以，故選:C.2.已知，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)反例可判斷AC，根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷BD.【詳解】對(duì)于A，若，顯然滿足，但不能得到，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，由于，所以，又為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，若，顯然滿足，，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，若，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)，則，綜上可知D正確，故選：D 3.已知等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和滿足，則（）A.4B.C.D.3【答案】A【解析】【分析】由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，與等差中項(xiàng)易得，由等差中項(xiàng)易得.【詳解】是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)為，，，.故選：A.4.如圖所示，在中，點(diǎn)是線段上靠近A的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由向量線性運(yùn)算的幾何意義即可計(jì)算【詳解】.故選：B5.納皮爾是蘇格蘭數(shù)學(xué)家，其主要成果有球面三角中的納皮爾比擬式?納皮爾圓部法則（1614）和納皮爾算籌（1617），而最大的貢獻(xiàn)是對(duì)數(shù)的發(fā)明，著有《奇妙的對(duì)數(shù)定律說明書》，并且發(fā)明了對(duì)數(shù)表，可以利用對(duì)數(shù)表查詢出任意對(duì)數(shù)值.現(xiàn)將物體放在空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是（℃），空氣的溫度是（℃），經(jīng)過t分鐘后物體的溫度T（℃）可由公式 得出；現(xiàn)有一杯溫度為70℃的溫水，放在空氣溫度為零下10℃的冷藏室中，則當(dāng)水溫下降到10℃時(shí)，經(jīng)過的時(shí)間約為（）參考數(shù)據(jù)：，.A.3.048分鐘B.4.048分鐘C.5.048分鐘D.6.048分鐘【答案】C【解析】【分析】先將已知數(shù)據(jù)代入公式，再用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)得到，用換底公式將為底的對(duì)數(shù)換成為底的對(duì)數(shù)，代入已知對(duì)數(shù)值計(jì)算即可.【詳解】依題意，，，，代入公式得：（分鐘），故選：C.6.已知命題p：函數(shù)在上單調(diào)遞減；命題，都有．若為真命題，為假，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）．A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意求出為真命題時(shí)的范圍，進(jìn)而根據(jù)中一真一假分兩類情況討論即可求解.【詳解】若命題p為真，則，若為真，則，由于為真命題，為假，則中一真一假若真假，則滿足：；若真假，則滿足：，此時(shí)無解， 綜上故選：A7.函數(shù)的圖象可能是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】從圖像利用排除法進(jìn)行求解：先分析奇偶性，排除B；計(jì)算排除C；根據(jù)時(shí)，；排除D.即可得到答案.【詳解】對(duì)于，定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.因?yàn)?，所以是偶函?shù)，排除B.當(dāng)時(shí)，，排除C；當(dāng)時(shí)，，，；排除D.故選：A. 8.已知函數(shù)在處取得極小值10，則的值為（）A.－1B.C.D.或【答案】C【解析】【分析】題意說明，，由此可求得的比值．然后代入檢驗(yàn)1是極小值點(diǎn)．【詳解】，由題意，解得或，若，，不是極值點(diǎn)，舍去．時(shí)，，時(shí)，，或時(shí)，，是極大值點(diǎn)，是極小值點(diǎn)，滿足題意．∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．掌握導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)鍵是解題關(guān)鍵．有已知極值求出參數(shù)時(shí)需要進(jìn)行檢驗(yàn)，檢驗(yàn)該參數(shù)值時(shí)題中極值點(diǎn)是否滿足．9.計(jì)算（）A.1B.﹣1C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式、三角恒等變換、二倍角公式可得結(jié)果，盡可能地化簡(jiǎn)為同角的三角函數(shù)值 【詳解】故選：B10.若曲線的一條切線為，其中，為正實(shí)數(shù)，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)已知求出，，再利用基本不等式求解.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，則有，∵，∴，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等）故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查基本不等式求最值，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.11.若函數(shù)滿足，且時(shí)，，已知函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.14B.13C.12D.11 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，分析函數(shù)的性質(zhì)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)的部分圖象，借助圖形求出在內(nèi)兩個(gè)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)作答.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，而，即是周期?的周期函數(shù)，函數(shù)在上遞增，且，在上遞減，且，在上遞增，且，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)的部分圖象，如圖，由得，即函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是函數(shù)的圖象在內(nèi)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，觀察圖象知，函數(shù)的圖象在內(nèi)有12個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)在內(nèi)有12個(gè)零點(diǎn)，C正確.故選：C12.函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，若不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題目條件可構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)判斷出函數(shù)單調(diào)性，將不等式轉(zhuǎn)化成 ，即在上恒成立，求出函數(shù)在上的最大值即可得的取值范圍.【詳解】設(shè)，，所以函數(shù)在上為增函數(shù)．由的定義域?yàn)榭芍?，得，將不等式整理得，即，可得在上恒成立，即在上恒成立；令，其中，所以，令，得．?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；所以，即故選：B．二、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分13.若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是___________.【答案】【解析】【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得結(jié)論.【詳解】畫出表示的可行域，如圖， 由可得，將變形為，平移直線，由圖可知當(dāng)直經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最大，此時(shí)最小值，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃中，利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬于簡(jiǎn)單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.14已知向量，且，則___________．【答案】##【解析】【分析】由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，得到，再利用模的坐標(biāo)公式求．【詳解】已知向量，，，， ，解得，，．故答案為：．15.設(shè)函數(shù)，則使得的的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，即可得到結(jié)論．【詳解】因?yàn)?，則，所以，即為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性可知在上單調(diào)遞減，距離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，由可得，兩邊同時(shí)平方可得，，解得，所以的取值范圍是．故答案為：．16.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則滿足條件的最小正整數(shù)x為________．【答案】2 【解析】【分析】先根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整數(shù)或驗(yàn)證數(shù)值可得.【詳解】由圖可知，即，所以；由五點(diǎn)法可得，即；所以.因，；所以由可得或；因?yàn)?，所以，方法一：結(jié)合圖形可知，最小正整數(shù)應(yīng)該滿足，即，解得，令，可得，可得的最小正整數(shù)為2.方法二：結(jié)合圖形可知，最小正整數(shù)應(yīng)該滿足，又，符合題意，可得的最小正整數(shù)為2.故答案為：2.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)圖象求解函數(shù)的解析式是本題求解的關(guān)鍵，根據(jù)周期求解，根據(jù)特殊點(diǎn)求解.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17-21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17設(shè)函數(shù)． （1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間及對(duì)稱中心；（2）當(dāng)時(shí)，，求的值．【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間是；，（2）【解析】【分析】（1）由二倍角公式，誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)函數(shù)式，然后利用正弦函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱中心求解；（2）由兩角差的余弦公式計(jì)算．【小問1詳解】由題意得：，由，可得；所以的單調(diào)遞增區(qū)間是；令，，解得：，，此時(shí)函數(shù)值為，所以對(duì)稱中心為，．【小問2詳解】∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∴．18.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，，成等差數(shù)列．等差數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和為．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可;（2）用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求解即可【小問1詳解】設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的公比為，等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以即，因?yàn)?，，所以，解得或（舍去），所以，，由可得，解得，所以；【小?詳解】因?yàn)椋裕?所以19.在中，角的對(duì)邊分別為，其中，且.（1）求角的大小；（2）求周長的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式得到，再由正弦定理得到，即可得到，即可得解；（2）利用余弦定理及基本不等式得到，再根據(jù)求出的取值范圍，即可得解；【小問1詳解】解：因?yàn)?，即，所以，即，所以，又，，所以，所以，因?yàn)?，所以；【小?詳解】解：因?yàn)?、，由余弦定理，即，即?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以，所以，所以，所以，即三角形的周長的取值范圍為 20.已知函數(shù)，其中a是正數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為，求a的取值范圍．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)后，利用導(dǎo)數(shù)分類討論確定單調(diào)性；（2）由（1）的結(jié)論分類討論確定最大值點(diǎn)，從而得參數(shù)范圍．【小問1詳解】因?yàn)椋裕佼?dāng)時(shí)，，在上嚴(yán)格遞增；②當(dāng)時(shí)，由得或，由得，所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，由得或，由得，所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；【小問2詳解】由（1）可知①當(dāng)時(shí)，，在上嚴(yán)格遞增，此時(shí)在上的最大值為；②當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；在上的最大值只有可能是或，因?yàn)樵谏系淖畲笾禐?，所以，解得，此時(shí)； ③當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；在上的最大值可能是或，因?yàn)樵谏系淖畲笾禐?，所以，解得，此時(shí)，由①②③得，，∴滿足條件的a的取值范圍是．21.已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），.（1）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）有兩個(gè)零點(diǎn)，通過參變分立，轉(zhuǎn)換成兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題.（2）先利用參數(shù)放縮轉(zhuǎn)變成恒成立，再通過參變分離轉(zhuǎn)化成最小值問題.【小問1詳解】有兩個(gè)零點(diǎn)，關(guān)于的方程有兩個(gè)相異實(shí)根，，有兩個(gè)零點(diǎn)即有兩個(gè)相異實(shí)根.令， 則，得，得在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為；【小問2詳解】，所以原命題等價(jià)于對(duì)一切恒成立，對(duì)一切恒成立，令，令，則上單增，又，使，即①，當(dāng)時(shí)，，即在遞減當(dāng)時(shí)，，即在遞增， 由①知，，函數(shù)在單調(diào)遞增，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】(1)零點(diǎn)問題常用方法為直接討論法和參變分離兩種方法.(2)恒成立問題一般有三種方法：直接討論法，參變分離法，端點(diǎn)效應(yīng).（二）選考題：共10分．考生在第22、23兩題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分，作答時(shí)請(qǐng)用2B鉛筆在答題卡上將所選題號(hào)后的方框．22.在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若射線（）與直線和曲線分別交于，兩點(diǎn)，求的值.【答案】（1）（），；（2）.【解析】【分析】（1）將直線的參數(shù)方程消參，即可得直線的普通方程，要注意；將曲線的極坐標(biāo)方程兩邊同乘，再將，代入，即可得曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）先將直線的直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程，再將（）代入直線和曲線 的極坐標(biāo)方程中，可得點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的極徑，利用計(jì)算，即可求解.【詳解】（1）由得，將（為參數(shù)）消去參數(shù)，得直線的普通方程為（）.由得，將，代入上式，得，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為.（2）由（1）可知直線的普通方程為（），化為極坐標(biāo)方程得（），當(dāng)（）時(shí)，設(shè)，兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為，，則，，所以.【點(diǎn)睛】本題考查直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程與普通方程的互化及參數(shù)的幾何意義，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)，屬于?？碱}.23.已知函數(shù).（1）解不等式；（2）記函數(shù)的最小值為m，正實(shí)數(shù)a，b滿足，試求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】 【分析】（1）化簡(jiǎn)函數(shù)，分段求解不等式，即可求出答案.（2）利用絕對(duì)值三角不等式求出最小值，再利用基本不等式，即可求出最小值.【詳解】（1）依題意得，因?yàn)?，所以，或，或，解得，或，?所以，即不等式的解集為.（2），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).則，，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，且，即，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.