北京市懷柔區(qū)青苗學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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2023－2024學(xué)年度青苗懷柔科學(xué)城校區(qū)高二上期期中考試卷數(shù)學(xué)試題考試范圍：空間向量與立體幾何、坐標(biāo)法、直線及其方程；考試時間：120分鐘注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）一、單選題1.在同一坐標(biāo)系中，表示直線與正確是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】本題為判斷函數(shù)圖像，根據(jù)一次函數(shù)的斜率大于0，可以排除B，D，再看的取值符號相同，即可得到本題答案.【詳解】由一次函數(shù)可知，函數(shù)為增函數(shù)，故排除B，D選項(xiàng)，A選項(xiàng)中，由可知，函數(shù)中的，故不符合，A錯誤，C選項(xiàng)兩個函數(shù)圖像都符合的情況，故C正確.故選：C2.已知直線l過點(diǎn)，且與直線垂直，則直線l的一般式方程為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由題意設(shè)直線方程為，然后將點(diǎn)坐標(biāo)代入求出，從而可求出直線方程【詳解】因?yàn)橹本€與直線垂直，所以設(shè)直線方程為， 因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，得，所以直線方程為，故選：B.3.已知直線.則下列結(jié)論正確的是（）A.點(diǎn)在直線上B.直線的傾斜角為C.直線在軸上的截距為8D.直線的一個方向向量為【答案】B【解析】【分析】逐個分析各個選項(xiàng).【詳解】對于A項(xiàng)，當(dāng)，時，代入直線方程后得，∴點(diǎn)不在直線l上，故A項(xiàng)錯誤；對于B項(xiàng)，設(shè)直線l的傾斜角為，∵，∴，又∵，∴，故B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，令得：，∴直線l在y軸上的截距為，故選項(xiàng)C錯誤；對于D項(xiàng)，∵直線l的一個方向向量為，∴，這與已知相矛盾，故選項(xiàng)D錯誤.故選：B.4.若直線經(jīng)過兩點(diǎn)，則直線的傾斜角為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用兩點(diǎn)間的斜率公式代入計(jì)算可得斜率，再由斜率與傾斜角之間的關(guān)系得出結(jié)果.【詳解】由兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入兩點(diǎn)間的斜率公式可得，設(shè)直線的傾斜角為，可知，所以.故選：B5.直線的斜率為（）A.1B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】將直線方程轉(zhuǎn)化為斜截式，從而得到其斜率．【詳解】由，得，所以直線的斜率為．故選：C．6.已知向量，，且，那么實(shí)數(shù)等于（　?。〢.3B.-3C.9D.-9【答案】D【解析】【分析】運(yùn)用空間向量共線列式計(jì)算即可.【詳解】∵，，且，∴，解得，，∴．故選：D．7.若，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示即可求得結(jié)果.【詳解】由可知，根據(jù)向量減法的坐標(biāo)運(yùn)算法則可得，即.故選：C8.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則線段的長度為（） A.3B.4C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)距離公式計(jì)算即可.【詳解】.故選：A.9.已知點(diǎn)和點(diǎn)，則向量（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)的定義，即可求解.【詳解】由和點(diǎn)，所以.故選：A10.過點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（）A.B.C.或D.或【答案】D【解析】【分析】可以分截距都為零和截距不為零兩種情況進(jìn)行考慮，截距為零，直線過原點(diǎn)，求出方程即可，截距部位零，利用截距式，設(shè)出方程求解即可；也可以設(shè)出方程，求出截距，進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】解法一當(dāng)直線過原點(diǎn)時，滿足題意，此時直線方程為，即；當(dāng)直線不過原點(diǎn)時，設(shè)直線方程為，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，解得，此時直線方程為.故選：解法二易知直線斜率不存在或直線斜率為0時不符合題意.設(shè)直線方程為， 則時，，時，，由題意知，解得或，即直線方程為或.故選：11.已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且與直線平行，則直線的方程為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)直線平行求出斜率，在代入點(diǎn)斜式方程求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行，所以直線的斜率為，又直線經(jīng)過點(diǎn)，所以直線的方程為，即.故選：D.12.如圖，在三棱錐O－ABC中，D是BC的中點(diǎn)，若，，，則等于（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以，又， 所以．故選:C．13.已知點(diǎn)，，，過的直線（不垂直于軸）與線段相交，則直線斜率的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由題意畫出圖形，數(shù)形結(jié)合得答案．【詳解】解：點(diǎn)，，，如圖，，，且過的直線（不垂直于軸）與線段相交，直線需繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)至傾斜角為（不含，此時斜率范圍為，，直線需繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)至傾斜角為（不含，此時斜率范圍為，．綜上，直線斜率的取值范圍是．故選：C．14.下列利用方向向量?法向量判斷線?面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是（）A.兩條不重合直線的方向向量分別是，則B.直線的方向向量為，平面的法向量為，則C.兩個不同的平面的法向量分別是，則D.直線的方向向量，平面的法向量是，則 【答案】C【解析】【分析】對于A，由不重合兩直線方向向量平行可判斷；對于B，要考慮直線可能在面內(nèi)；對于C，由兩法向量垂直可得兩平面垂直；對于D，直線方向向量與法向量平行，則直線與面垂直.【詳解】對于A，兩條不重合直線的方向向量分別是，則，所以不平行，即不平行，故A錯誤；對于B，直線l的方向向量，平面的法向量是，則，所以，即或，故B錯誤；對于C，兩個不同的平面的法向量分別是，則，所以，故C正確；對于D，直線l的方向向量，平面的法向量是，則，所以，即，故D錯誤．故選：C．第II卷（非選擇題）二、填空題15.已知點(diǎn)，，則線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為______.【答案】【解析】【分析】利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式直接求解作答.【詳解】點(diǎn)，，所以線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：16.已知向量，若，則k的值為_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量垂直列出方程，求出.【詳解】因?yàn)椋?，解?故答案為：. 17.已知直線，則當(dāng)實(shí)數(shù)___________時，.【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行的條件列方程求解的值即可.【詳解】若，則，解得或，當(dāng)時，和重合，舍去，所以.故答案為：.18.已知，，三點(diǎn)共線，則＝_____．【答案】6【解析】【分析】利用可得出關(guān)于的等式，由此可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】由于、、三點(diǎn)共線，則，即，解得.故答案為：6.19.已知直線：，：，若，則實(shí)數(shù)______【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合直線垂直的性質(zhì)列式求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€：，：，且，所以，解得故答案為：.20.如圖，在正方體中，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動，則下列結(jié)論正確的是________． ①直線平面②三棱錐的體積為定值③異面直線AP與所成角的取值范圍是④直線與平面所成角的正弦值的最大值為【答案】①②④【解析】【分析】對于①，利用線面垂直的判定定理及線面垂直的性質(zhì)定理，即可進(jìn)行判斷；對于②，利用線面平行的判定定理，得出∥平面，再根據(jù)三棱錐的體積的計(jì)算方法，即可進(jìn)行判斷；對于③，利用異面直線所成角的計(jì)算方法，即可進(jìn)行判斷；對于④，通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求出直線與平面所成角的正弦值，然后借助二次函數(shù)，即可進(jìn)行判斷.【詳解】對于①，連接，，，，平面，平面，平面，平面，，同理，，，平面，平面， 直線平面，故①正確；對于②，∥，平面，平面，∥平面，點(diǎn)在線段上運(yùn)動，點(diǎn)到平面的距離為定值，又的面積為定值，利用等體積法知三棱錐的體積為定值，故②正確；對于③，∥，異面直線與所成的角即為與所成的角，當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時，與所成的角為，當(dāng)點(diǎn)位于的中點(diǎn)時，，，此時，與所成的角為，異面直線與所成角的取值范圍是，故③錯誤；對于④，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，，則，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，即，令，得，所以，直線與平面所成角的正弦值為：，當(dāng)時，直線與平面所成角的正弦值取得最大值，最大值為，故④正確. 故答案為：①②④三、解答題21.已知四棱錐中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，E是PB的中點(diǎn).（1）求直線BD與直線PC所成角的余弦值；（2）求證：平面（3）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算異面直線所成角的余弦值；（2）利用數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算得線線垂直，利用線線垂直證明線面垂直；（3）利用點(diǎn)到平面距離向量公式直接計(jì)算即可.【小問1詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系.由題意，，，，，， 設(shè)直線BD與直線PC所成的角為，因?yàn)椋?，所以，所以直線BD與直線PC所成角的余弦值為；【小問2詳解】因?yàn)?，，，所以，，所以，又平面，所以平面；【小?詳解】由（2）知，為平面的一個法向量，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則為向量在向量上的投影的絕對值，由，得，所以點(diǎn)到平面的距離為.22.求滿足下列條件的直線方程：（1）經(jīng)過點(diǎn)，且與直線平行（2）經(jīng)過點(diǎn)和（3）傾斜角是，在y軸上的截距是7【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)平行關(guān)系設(shè)所求直線方程為，代入點(diǎn)運(yùn)算求解即可；（2）根據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程運(yùn)算求解；（3）根據(jù)題意可得直線的斜率，利用斜截式運(yùn)算求解. 【小問1詳解】因?yàn)樗笾本€與直線平行，設(shè)所求直線方程為，代入點(diǎn)，即，解得，所以所求直線方程為.【小問2詳解】因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)和，所以所求直線方程為，即.【小問3詳解】因?yàn)橹本€的傾斜角是，則直線的斜率，且直線在y軸上的截距是7，所以所求直線方程為，即.23.如圖，四棱錐的底面是矩形，⊥平面，，.（1）求證：⊥平面；（2）求二面角余弦值的大??；（3）求點(diǎn)到平面距離．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到，，從而得證； （2）（3）利用空間向量法計(jì)算可得.【小問1詳解】證明：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則、、．在中，，，∴．∴、，∴，，，∵，，即，，又，平面，∴⊥平面；【小問2詳解】由（1）得，．設(shè)平面的法向量為，則，即，故平面的法向量可取為，∵平面，∴為平面的一個法向量．設(shè)二面角的大小為，由圖易得為銳角， 依題意可得，即二面角余弦值．【小問3詳解】由（1）得，，設(shè)平面的法向量為，則，∴，故可取為．∵，∴到平面的距離為.24.已知三角形的頂點(diǎn)為.（1）求邊上的中線所在直線方程.（2）求邊上的高線所在直線方程.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）求得BC的中點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合A點(diǎn)坐標(biāo)，求得中線方程；（2）求得BC的斜率，從而求得其上的高的斜率，且過，求得高的方程【小問1詳解】BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為，故中線的斜率，則邊BC上的中線所在直線的方程為即；小問2詳解】邊BC的斜率為，則其上的高的斜率為，且過，則邊BC上的高所在直線的方程為即 25.如圖：在四棱錐中，底面是正方形，，，點(diǎn)在上，且.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）證明：在線段上存在點(diǎn)，使∥平面，并求線段的長.【答案】（1）證明見解析（2）（3）證明見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)已知，利用勾股定理、直線與平面垂直的判定定理進(jìn)行證明.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的夾角公式進(jìn)行計(jì)算求解.（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算計(jì)算求解.【小問1詳解】證明：，，，同理又，平面ABCD平面.【小問2詳解】 如圖，以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，由有：，取，設(shè)二面角的平面角為，由圖形可知，，二面角的余弦值為.【小問3詳解】假設(shè)存在點(diǎn)，使∥平面，令，，，由∥平面，，，即，解得存在點(diǎn)，為的中點(diǎn)，即.26.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，側(cè)面 為等腰直角三角形，且，點(diǎn)為棱上的點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為已知，求平面與平面所成銳二面角的大?。畻l件①：；條件②：平面平面；條件③：．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】(1)由底面是正方形得，用線面平行的判定定理證得平面，再用線面平行的性質(zhì)定理證得；(2)若選條件①②，由平面平面得，，由為正方形得，即可建立空間直角坐標(biāo)系，由點(diǎn)的坐標(biāo)求出向量的坐標(biāo)，從而求出平面和平面的法向量，代入夾角公式即可求出平面與平面所成銳二面角的大??；若選條件①③，易證得平面，從而證得，所以平面，從而得到，又因?yàn)?，則可說明為等腰直角三角形，即可建立與①②相同的空間直角坐標(biāo)系，下面用與①②相同的過程求解；若選條件②③，由平面平面，可證平面，所以，，又由平面，可證，結(jié)合可得點(diǎn)為的中點(diǎn)，則可得，即可建立與①②相同的空間直角坐標(biāo)系，下面用與①②相同的過程求解.【小問1詳解】證明：因?yàn)榈酌媸钦叫?，所以，平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫媾c交于點(diǎn)，平面，平面平面 所以．【小問2詳解】選條件①②，則，平面平面.因?yàn)閭?cè)面為等腰直角三角形，且，即，，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以，，又由為正方形得．以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為軸，軸，軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，因?yàn)?，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，則,從而，，，,設(shè)平面的法向量為，則，令，可得,設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以，則兩平面所成的銳二面角為．選條件①③，則，． 側(cè)面為等腰直角三角形，且，即，，因?yàn)?，，且兩直線在平面內(nèi)，可得平面，因?yàn)槠矫?，則．又因?yàn)?，，且兩直線在平面內(nèi)，則平面，因?yàn)槠矫鎰t，因?yàn)椋詾榈妊切?，所以點(diǎn)為的中點(diǎn).又因?yàn)?，所以為等腰直角三角形，則可建立與①②相同的空間直角坐標(biāo)系，以下用與①②相同的過程求解．選條件②③，則平面平面，．因?yàn)閭?cè)面為等腰直角三角形，且，即，，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以，，又由為正方形得．因?yàn)?，，且兩直線在平面內(nèi)，則平面，因?yàn)槠矫?，則，因?yàn)?，所以為等腰三角形，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，則.則可建立與①②相同的空間直角坐標(biāo)系，以下的過程與①②相同．27.如圖，在四棱錐中，，，底面為正方形，分別為的中點(diǎn)． （1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用中位線定理證明，然后由線面平行的判定定理證明即可；（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出平面的法向量，由向量的夾角公式求解即可.【小問1詳解】∵，分別為，的中點(diǎn)，∴，又平面，平面，故平面.【小問2詳解】由題可知DA、DC、DP兩兩垂直，故以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：設(shè)，則，∴，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，故， ∴，故直線與平面所成角的正弦值為.