九大考點+真題模擬題練解答題01 解三角形（解析版）.docx

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解答題01解三角形【考點01邊角互換】【例1】在中，內角所對的邊分別是，已知．(1)求角；(2)設邊的中點為，若，且的面積為，求的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理和題中所給式子化簡計算得到，再結合余弦定理即可求出角；（2）根據(jù)三角形面積公式得到和，再結合中線向量公式計算即可.【詳解】（1）在中，由正弦定理得，，因為，所以，64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 化簡得，，在中，由余弦定理得，，又因為，所以（2）由，得，由，得，所以．又因為邊的中點為，所以，所以【例2】在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知的面積．(1)求；(2)若,，求．【答案】(1)(2)12【分析】（1）由三角形面積公式、正弦定理及同角三角函數(shù)基本關系得解；（2）根據(jù)三角恒等變換化簡后由正余弦定理求解即可.【詳解】（1）由題意可知，，由正弦定理可知：，因為，所以.（2）由，可知角為銳角，所以，得，，所以，由，又，得，由正弦定理得，所以，由余弦定理，64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 得.【變式1-1】在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，邊的中線長為2．(1)求角A；(2)求邊a的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理邊角互換、兩角和的正弦公式逆用以及商數(shù)關系化簡運算即可求解；（2）由平方后結合基本不等式得，進一步結合余弦定理即可求解.【詳解】（1）因為，所以，則，故，因為，，，所以，又，所以．（2）因為BC邊的中線長為2，所以，兩側平方可得，即，解得，當且僅當時取等號，所以，可得，所以a的最小值為．【變式1-2】記的內角的對邊分別為，已知．(1)；(2)若，，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，利用正弦定理求得，進而求得的值；64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （2）設的外接圓的半徑為，根據(jù)正弦定理求得，進而得到，結合三角形的面積公式，即可求解.【詳解】（1）解：因為，由正弦定理得，又因為，可得，所以，可得，因為，可得.（2）解：由（1）知，因為，設的外接圓的半徑為，可得，所以，因為，可得，所以的面積為.【變式1-3】在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.(1)若，求角C的大??；(2)求證：，，成等差數(shù)列.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）先利用誘導公式及正弦公式化角為邊，再結合三角形的面積公式即可得解；（2）先利用誘導公式及正弦公式化邊為角，再根據(jù)三角形內角和定理及兩角和的正弦公式化簡，再結合等差數(shù)列的定義即可得證.【詳解】（1）由得，，由正弦定理得，即，∵，∴，∴，即，64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ∵，∴；（2）由題意得，，由正弦定理得，即，又，∴，即，則，，成等差數(shù)列.【考點02邊角互換（等式需將數(shù)代成邊）】【例3】a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，已知，.(1)求A的值；(2)若，，求c的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理的邊角互化，即可得到，再由，代入計算，即可得到結果；（2）根據(jù)題意，由平面向量的線性運算可得，再由余弦定理代入計算，即可得到結果.【詳解】（1）因為，，所以，由正弦定理得.又，所以.因為，所以.又，所以.（2）由，得，所以，所以點D在邊上，且，因為，所以，.在中，由余弦定理得，即，64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 解得（負根已舍去）.【例4】在中，角的對邊分別為，已知.(1)求；(2)若，且，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，利用正弦定理可解；（2）根據(jù)題意，設，則，在、與中，利用余弦定理得到與的方程，從而求解.【詳解】（1）.由正弦定理，可得又,.（2），設，則，在中，.在與中，..【變式2-1】已知的內角的對邊分別為，且滿足，．(1)求的大?。?2)已知是的中線，求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理角化邊，化簡，可得，結合余弦定理即可求得答案；（2）由，，利用基本不等式可得，再根據(jù)是的中線，可得64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ，平方后結合數(shù)量積的運算可得，即可求得答案.【詳解】（1）由于在中，，，則，則，由于；（2）因為，，所以，故，當且僅當，即時等號成立，故；由是的中線，得，即得，即得，故的最大值為.【變式2-2】在中，內角、、的對邊分別為、、，已知，．(1)證明：；(2)求當面積取得最大值時，的周長．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由已知條件可得出，再利用正弦定理結合兩角和的正弦公式化簡可證得結論成立；（2）利用余弦定理結合同角三角函數(shù)的平方關系得出，再利用二次函數(shù)的基本性質可求得面積的最大值及其對應的的值，可得出的值，由此可得出的周長.【詳解】（1）證明：由，得：，由正弦定理得：，所以．（2）解：由余弦定理得：，64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以，所以，當且僅當，即時，面積取得最大值，此時，所以的周長為．【變式2-3】在中，內角的對邊分別是，已知．(1)求；(2)若，求的面積．【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，再結合和角的正弦公式求解.（2）由（1）的結論，利用余弦定理及三角形面積公式計算即得.【詳解】（1）在中，由，得，由正弦定理得，則，而，因此，又，所以.（2）由（1）及余弦定理得：，即，解得或，當時，，當時，，所以的面積為或.【考點03解三角形與多三角形】【例5】如圖，在平面四邊形中，，，，.64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ??(1)求線段的長度；(2)求的值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)三角形面積公式求出，再利用余弦定理求出線段的長度.（2）在中，中利用正弦定理，通過，可以求出的值.【詳解】（1）因為，得，在中，由余弦定理可得：，.故線段的長度.（2）由（1）知，，在中，由正弦定理可得：,即，得，又，所以,在中，由正弦定理可得：,即，.所以的值為.【例6】如圖,在中,的平分線交邊于點,點在邊上,,,.64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ??(1)求的大小;(2)若,求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）因為是的角平分線,所以,在中利用余弦定理求出的長,再次利用余弦定理即可求出的大小.（2）在中,由正弦定理求出的長,再根據(jù)四邊形內角和為可得到,從而求出的值,再利用三角形面積公式求解即可.【詳解】（1）因為是的角平分線,所以,在中,根據(jù)余弦定理得,所以,則,因為,所以.（2）因為,所以,在中,由正弦定理得,在四邊形中,,所以,則.【變式3-1】在中，，均在線段上，，若，且，．64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 (1)求的值；(2)求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用平方關系求出，再在中，利用余弦定理求出，即可得解；（2）由（1）可得，先求出的正余弦值，即可求出的正余弦值，再求出的正余弦值，在中，利用余弦定理求出，在中，利用正弦定理求出，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解.【詳解】（1）因為，所以為銳角，所以，所以，在中，由余弦定理可得，∴，即，故，∴；（2）由（1）可得，且，由，得，故，∴，，∴，則，由，可得，在中，由余弦定理可得，64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 即，故，在中，由正弦定理可得，故，∴的面積為．【變式3-2】在中，角所對的邊分別為，其中，．(1)求角的大?。?2)如圖，為外一點，，，求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理將邊化為角，可得角的方程，化簡計算，即可得到結果；（2）根據(jù)題意，由正弦定理可得，再由余弦定理分別得到，再由基本不等式代入計算，即可得到結果.【詳解】（1）因為，所以，由正弦定理，可得，整理可得，又因為，化簡可得，而，則，又，則64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （2）在中，由可得，在中，由可得，所以，設，由余弦定理，，可得，，因此，當且僅當時，即等號成立，所以的最大值為，此時.【變式3-3】如圖，四邊形為梯形，，，，．(1)求的值；(2)求的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）計算出，利用兩角和的余弦公式可求得的值；（2）在中，利用正弦定理可求出BD的長，再在中利用余弦定理可求得BC的長.【詳解】（1）因為，且，解得，．而，所以，所以64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 因為，所以，所以．（2）在中，由正弦定理得，因為，所以．在中，由余弦定理得，所以．【考點04三角形的中線與角平分線】【例7】已知中，角所對的邊分別為，，，，且.(1)求角的大??；(2)若，點在邊上，且平分，求的長度.【答案】(1);(2).【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，找到邊的關系，借助余弦定理計算即可；（2）結合（1）問，求出，利用，計算出的長度即可.【詳解】（1）因為，由正弦定理可得：，因為，所以，即，由余弦定理可得，在中，,所以.（2）由（1）問可知,，所以，解得，設，由平分，所以,64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 即,解得：，故的長度為.【例8】設的內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且．(1)求角B；(2)若點D在邊上，平分，且，求面積的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理邊角互化得到角的關系，再利用三角函數(shù)公式結合三角函數(shù)的恒等變換公式，求角；（2）利用三角形面積公式得到，從而利用基本不等式求得，由此可得面積的最小值.【詳解】（1）因為，由正弦定理得，，所以，因為，所以，所以，因為，所以，由二倍角公式得，，解得，，因為，所以.（2）因為，BD平分，所以，因為且，所以，化簡得，，因為，所以，解得，當且僅當時取等，此時，所以面積的最小值為.64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【變式4-1】已知的三個內角所對的邊分別為，滿足，且．(1)求；(2)若點在邊上，，且滿足，求邊長；請在以下三個條件：①為的一條中線；②為的一條角平分線；③為的一條高線；其中任選一個，補充在上面的橫線中，并進行解答．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，借助三角恒等變換公式化簡即可；（2）由（1）問，分析邊角關系，利用余弦定理等知識求解即可.【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，由倍角公式可得，則，又因為，則，所以，即．且，則，可得，又因為，所以．（2）若選擇①：若為的中線，設（），由余弦定理可得，，因為，可得，即，整理得，可知，又因為，解得或（舍去），所以；64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 若選擇②：若為的角平分線，則，在中，由余弦定理得，即，可知，即，可知，，所以；若選擇③：若為的高線，則，則，即，則，可知，可知，,所以．【變式4-2】在①的平分線長為；②D為BC中點，；③為邊上的高，這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解決該問題．中，角A，B，C的對邊為，，，已知，.(1)求;(2)若，求的大小.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)3(2).【分析】（1）根據(jù)題意由，利用余弦定理即可求得；（2）若選①：記，利用等面積法即可求得，即可知；若選②：利用平面向量表示出，再根據(jù)利用數(shù)量積定義即可求得結果；若選③：分別在和中利用余弦定理即可求得，再利用余弦定理可求得.【詳解】（1）由及得，即，由余弦定理得，所以．64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （2）若選①：記，的平分線交BC于D，則有，即，即，即，所以，??因為，所以，從而，即，所以.若選②：由于D為BC中點，所以，即，又因為，，，所以，即，所以，又因為，所以.若選③：由于為邊上的高，在中，，所以，在中，，所以，??所以，由余弦定理得，又因為，所以.【變式4-3】在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且．(1)求B；64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 (2)若的中線長為，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理結合三角恒等變換計算即可；（2）利用平面向量知，利用數(shù)量積與模關系及基本不等式可得，再根據(jù)面積公式求最值即可.【詳解】（1）在中，由正弦定理得：，而，所以，化簡得，因為，則，，即，所以，又因為，所以，即.（2）由是的中線，可知，所以，即，可得，即，當且僅當時，等號成立，所以三角形面積，即的面積的最大值為.【考點05解三角形中的證明】【例9】已知中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)證明：；(2)若，求的值．【答案】(1)證明見解析64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 (2)【分析】（1）（2）由正余弦定理邊角互化，結合余弦定理化簡計算求解.【詳解】（1）證明：由正弦定理及條件可得，由余弦定理可得，化簡得．（2）由得，化簡得，又，故，所以，故．【例10】在中，角所對的邊分別是，且．(1)證明：成等比數(shù)列．(2)求（1）中數(shù)列的公比的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理、三角形內角關系化簡即可證得結論；（2）根據(jù)三角形三邊關系，轉化為公比的不等關系即可得數(shù)列的公比的取值范圍.【詳解】（1）在中，由于，由正弦定理可得∴，∵，∴∴即，則由正弦定理得，又∴成等比數(shù)列.（2）法一：在數(shù)列中，當時，公比為，，∴解得164學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 當時，公比為，，∴解得．故的取值范圍是．法二：由（１）成等比數(shù)列，設公比為ｑ在中，由三邊關系，，．即．解得?。咀兪?-1】記的內角所對的邊分別是，且滿足.(1)證明：；(2)若的面積為，求；【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)兩角和、差的正弦公式化簡后可證.（2）根據(jù)正弦定理可將面積轉化為角的三角函數(shù)關系式，化簡后可得，結合（1）中結果可求.【詳解】（1）由得，則，得，若，則，則均為直角，與題設矛盾，故，故，故，故.（2），所以，則，，64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 從而，又，從而，，所以.【變式5-2】已知中B為鈍角，且．(1)證明：；(2)已知點在邊上，且，求外接圓面積的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由已知利用輔助角公式化簡可得，進而求得的關系證得結果；（2）由可知可得，由，可得，利用正弦定理可得，從而可得通過函數(shù)性質計算求解即可.【詳解】（1）因為，所以，即，又，，所以，所以，即，或，即（舍去），又，所以，即；（2）因為，所以，又，可得，設外接圓半徑為，在中，，可得，???????????在中，，?????64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 因為中為鈍角，所以，得，所以，??????????????????????????????，所以，即的取值范圍為．可得外接圓面積的取值范圍．【變式5-3】設的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知．(1)證明：．(2)求的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用二倍角公式及正弦的和角公式化簡變形條件結合角的范圍證明即可；（2）利用（1）結論及正弦定理、三角恒等變換化簡得，換元利用導數(shù)判定單調性求值域即可.【詳解】（1）證明如下：由，則有，所以，因為，所以，則B為銳角．所以，所以或，則或，由題意知，所以，所以．（2）由（1）知，且，64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 由正弦定理，有即令，記，．在上單調遞增．即．故的取值范圍為．【考點06存在問題】【例11】在中，．(1)求的大??；(2)若，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在，求邊上中線的長．條件①：的面積為；條件②：；條件③：．【答案】(1)(2)不能選①，選②或③，答案均為1【分析】（1）由正弦定理及得到，結合，得到；（2）選①，由三角形面積和余弦定理得到，由推出矛盾；選②，根據(jù)三角恒等變換得到，是以為斜邊的直角三角形，由正弦定理得到，求出中線；選③，由余弦定理得到，設邊上的中線長為，再由余弦定理得到邊上的中線的長為1．【詳解】（1）由正弦定理及，得．①因為，所以．②由①②得．因為，所以．64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以．因為，所以．（2）選①，的面積為，即，即，解得，因為，由余弦定理得，即，解得，由基本不等式得，但，故此時三角形不存在，不能選①，選條件②：．由（1）知，．所以，所以．因為，所以．所以，即．所以是以為斜邊的直角三角形．因為，所以．所以邊上的中線的長為．選條件③：．由余弦定理得，即．設邊上的中線長為，由余弦定理得64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ，所以邊上的中線的長為1．【例12】記的內角、、所對的邊分別為、、.(1)證明：若，則；(2)探究：是否存在一個，其三邊為三個連續(xù)的自然數(shù)，且最大角是最小角的兩倍？如果存在，試求出最大邊的長度；如果不存在，說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，最大邊長為．【分析】（1）由，利用三角恒等變換證明出，再利用正弦定理可證得結論成立；（2）假設存在，其三邊為三個連續(xù)的自然數(shù)、、，設這三邊所對的角分別為、、，可得，由（1）中的結論結合余弦定理可求出的值，即可求得最長邊的邊長.【詳解】（1）證明：若，則，所以，由正弦定理得：．（2）解：假設存在，其三邊為三個連續(xù)的自然數(shù)、、，設這三邊所對的角分別為、、，則若最大角是最小角的兩倍，即．由（1）知，，即．由余弦定理知，，所以，，即，因為，解得，經(jīng)檢驗滿足條件．于是最大邊長為．因此，存在一個，其三邊為三個連續(xù)的自然數(shù)，最大邊長為．【變式6-1】在中，角的對邊分別為，．(1)求角B的大小．64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 (2)若，是否存在正整數(shù)b，使得是銳角三角形？若存在，求出b的最小值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，4【分析】（1）利用正弦定理邊化角后整理計算即可；（2）首先分析出只有當為銳角時，才能是銳角三角形，進而根據(jù)，以及求出的范圍即可.【詳解】（1）因為，由正弦定理，得．因為，所以．所以．因為B是三角形的內角，所以；（2）因為，，所以當且僅當A為銳角時，△ABC是銳角三角形．由余弦定理，得，所以（*）．又，代入（*），得．因為，，所以．所以，即．所以存在正整數(shù)b，使得△ABC是銳角三角形，且正整數(shù)b的最小值為4．【變式6-2】記鈍角的內角的對邊分別為，已知．(1)若，求的面積；(2)若線段上存在點，使得，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理的邊角變換與三角函數(shù)的倍角公式求得，進而利用三角形的面積公式即可得解；（2）設，，利用勾股定理得到，再利用兩邊和大于第三邊，結合余弦定理與基本不等式即可求得的取值范圍.64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【詳解】（1）因為，所以由正弦定理得，即，因為，所以或，即或（舍去）,所以，則，，故.（2）作，如圖，??因為，所以，則是的中點，設，則，當在上，則；當在上，則；綜上，，在中，，在中，，即，整理得，因為，則，，又，則，因為，所以，當且僅當，即時，等號成立，綜上，.64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【變式6-3】如圖，在平面四邊形中，角.設.(1)用表示四邊形對角線的長；(2)是否存在使四邊形對角線最長，若存在求出及四邊形對角線最長的值，若不存在請說明理由.【答案】(1)(2)存在，，的最大值為【分析】（1）根據(jù)余弦定理求得關于的表達式.（2）根據(jù)三角函數(shù)的最值等知識求得正確答案.【詳解】（1）設，在三角形中，由正弦定理得，由余弦定理得，在中，，所以，在三角形中，由余弦定理得.（2）存在，理由如下：由（1）得，64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以當時，取得最大值為，此時.【考點07基本不等式求取值范圍】【例13】在中，內角，，的對邊分別為，，，已知該三角形的面積．(1)求角的大??；(2)若時，求面積的最大值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用三角形面積公式、余弦定理求解即得.（2）由（1）中信息，結合基本不等式求出的最大值即可得解.【詳解】（1）在中，，而，即，，由余弦定理得，所以.（2）由（1）知，，，而，于是，即，當且僅當時取等，因此的面積，所以當時，面積取得最大值.【例14】記的內角的對邊分別為，已知.(1)求角；(2)若，求面積的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理，將邊化為角，根據(jù)三角函數(shù)值，即可求解；（2）根據(jù)（1）的結果，寫出余弦定理，再結合基本不等式和三角形的面積公式，即可求解.【詳解】（1）由正弦定理，得，64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 又，所以，即.又，所以.（2）由余弦定理，得，所以.由基本不等式知，于是.當且僅當時等號成立.所以的面積，當且僅當時，面積取得最大值.【變式7-1】在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．(1)求的大??；(2)若，直線PQ分別交AB，BC于P，Q兩點，且PQ把的面積分成相等的兩部分，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理邊角互換、兩角和的正弦公式以及誘導公式即可求解；（2）由三角形面積公式首先得，進一步結合基本不等式以及余弦定理即可求解.【詳解】（1）因為，所以，即，所以，即.（2）由題意不妨設，由題意，所以，由余弦定理、基本不等式得，等號成立當且僅當，綜上所述，的最小值為.64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【變式7-2】在中，已知，D為的中點.(1)求A；(2)當時，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)兩角和差及誘導公式結條件計算即可；（2）應用余弦定理結合基本不等式即可得出最大值.【詳解】（1），，即，，即.或，當時，，由，有，即時.當時，（舍）..（2）設，，由（1）及余弦定理有，即.，即，當且僅當時等號成立.由D為邊的中點有，，當且僅當時等號成立.，當且僅當時等號成立.64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 的最大值為.【變式7-3】在中，角所對的邊分別為，且.(1)求證：；(2)當取最小值時，求的值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用余弦定理并結合正弦函數(shù)兩角和差公式化簡即可求解.（2）利用基本不等式求得的最小值時的取等條件，再結合余弦定理從而求解.【詳解】（1）證明：由余弦定理知，又因為，所以，化簡得，所以，因為，所以，所以，所以，因為，所以或（舍），所以.（2）由題知，，當且僅當時取等，又因為，所以，所以.【考點08三角函數(shù)法求取值范圍】【例15】已知在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求A；(2)若外接圓的直徑為，求的取值范圍．【答案】(1)64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 (2)【分析】（1）由兩角和與差的余弦公式、正弦定理化簡已知式即可得出答案；（2）由正弦定理可得，由兩角差的正弦公式和輔助角公式可得，再由三角函數(shù)的性質求解即可.【詳解】（1）由可得：，所以，所以，，，由正弦定理可得，因為，所以，所以，因為，所以.（2）由正弦定理可得，所以，故，又，所以，所以，又，所以，所以，所以的取值范圍為.【例16】在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，請從以下條件①，條件②中選擇一個作為已知．①???????②．(1)求角A；(2)求的取值范圍．【答案】(1)64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 (2)【分析】（1）若選①：由正弦定理得，求得，即可求解；若選②：由正弦定理化簡得到即，再由余弦定理得，即可求解；（2）由（1）化簡得到，根據(jù)題意，求得，得到．進而求得的取值范圍．【詳解】（1）解：（1）若選①：由，因為，可得，所以，即．又由正弦定理得，因為，KDE，，所以，所以．若選②：因為，由正弦定理可得，可得，即，所以．因為，所以.（2）解：由（1）知，可得，則．因為為銳角三角形，可得，可得，所以．可得．所以．所以的取值范圍是．【變式8-1】在銳角中，角所對的邊分別為，且的面積.(1)求角A；(2)若，求的取值范圍.64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【答案】(1)；(2)【分析】（1）先利用向量數(shù)量積求得的值，再依據(jù)角A的范圍即可求得角A的值；（2）先利用正弦定理和三角函數(shù)誘導公式將轉化為關于角B的三角函數(shù)式，再利用正弦函數(shù)的圖像性質即可求得的取值范圍.【詳解】（1）∵，∴.∵，∴，又∵，∴.（2）∵，∴.∵，∴，∴，∴，∴，即的取值范圍為.【變式8-2】設的內角的對邊分別為．(1)若，求的值；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）應用正弦定理化簡已知，再結合兩角和差公式及誘導公式求職即可；（2）應用正弦定理結合兩角和差公式及輔助角公式，再應用角的范圍化簡求值域即得.【詳解】（1）由及正弦定理得，64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ．（2）由及正弦定理得的外接圓直徑，．，，即的取值范圍是．【變式8-3】如圖，已知是之間的一點，點到的距離分別為，且是直線上一動點，作，且使與直線交于點．設．??(1)若，求的最小值；(2)若，求周長的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意可得，即，進而利用基本不等式即可求解；（2）由題意可得，由勾股定理得，進而得的周長64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ，令，利用輔助角公式求的取值范圍，在利用同角三角函數(shù)的基本關系得，從而進行化簡并利用函數(shù)的單調性求最小值.【詳解】（1）由題意知，，于是，則.當時，，即，所以，又，于是，當且僅當，時，等號成立．故的最小值為.（2）由題意知：，因為，所以，又中，所以的周長，令，由得，所以周長，易知函數(shù)在上單調遞減，所以當，即時周長最小，最小值為．故當時，周長的最小值為.【考點09三角函數(shù)與解三角形的結合】64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【例17】已知銳角三角形滿足，．(1)求A；(2)求的所有零點．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，利用正弦定理化簡得到，即求解.（2）由（1）得到，然后令求解.【詳解】（1）解：因為，所以，即，即，所以，因為是銳角三角形，所以．（2）由（1）得，令，得．解得，所以所有零點為．【例18】已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最值及取得最值時的取值集合；(2)設的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，且，求的面積．【答案】(1)答案見解析64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 (2)或【分析】（1）化簡解析式后求解最值和取值集合即可.（2）依據(jù)正余弦定理得到等量關系，求解邊長后算面積即可.【詳解】（1），，，，易知的最大值為，此時，化簡得，的最小值為，此時，化簡得，綜上當時，取到最小值，當時，取到最大值.（2）在中，結合，故，解得(其它解舍去)，故由余弦定理得，由已知得，由正弦定理得，聯(lián)立方程組，解得或，當，時，,當，時，.【變式9-1】已知函數(shù)的最小正周期為.(1)求在上的單調增區(qū)間；(2)在中角的對邊分別是滿足，求函數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角恒等變換化簡，再利用整體代入法即可得解；（2）利用正弦定理的邊角變換與三角函數(shù)的和差公式求得角，從而得到的取值范圍，進而利用三角函數(shù)的性質即可得解.64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【詳解】（1）.，故由，解得，當時，，又，所以在上的單調增區(qū)間為.（2）由，得，.，.，，的取值范圍為.【變式9-2】設的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，且．(1)求角B的大??；(2)若為銳角三角形，求的值域．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)向量平行得到，結合正弦定理化簡得到，進而根據(jù)余弦定理求得即可得到答案；（2）根據(jù)化簡函數(shù)，得到原函數(shù)即為，結合銳角三角形得到進而即可得到答案.64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【詳解】（1）因為，，且，所以，在中，由正弦定理得，所以，所以，化簡得，在中，由余弦定理得，因為，所以（2）由（1）得，，所以，所以，因為為銳角三角形，所以，解得，所以，所以，則即的值域為【變式9-3】將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再將其縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍得到的圖象．(1)設，，當時，求的值域；(2)在中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，已知，，，求內切圓半徑r的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先利用圖象變換規(guī)律求函數(shù)的解析式，再求，代入得到函數(shù)64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ，通過換元，設，轉化為關于的函數(shù)，再變形后利用函數(shù)的單調性，即可求函數(shù)的值域；（2）首先求角的值，再利用正弦定理化簡面積，并結合三角形的面積公式，即可求解三角形，最后用三角形的內切圓半徑表示三角形的面積，即可求解.【詳解】（1）由題意知，所以，，所以，因為，，所以，所以．又，令，則．當時，是減函數(shù)，是增函數(shù)，所以是減函數(shù)，且則在是增函數(shù)，當趨向0，趨向1，當趨向1，趨向正無窮，所以函數(shù)的值域是；（2）因為．且，則，所以．因為由正弦定理，，得．又，所以，即．所以，，．所以．由，得，解得．所以內切圓半徑的值為.64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 一、1．（2024·吉林·校聯(lián)考模擬預測）已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且角A，B，C成等差數(shù)列，，．(1)求；(2)若點為線段的中點，求的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意結合等差中項可得，再由余弦定理求出，由正弦定理求，最后由同角基本關系式可解；（2）在中，由余弦定理求的長．【詳解】（1）因為角A，B，C成等差數(shù)列，則，又，所以，由余弦定理，，即，又由正弦定理，，即，所以，又，所以則;（2）在中，由余弦定理，所以.64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 2．（2024·湖南長沙·統(tǒng)考一模）在中，角，，所對的邊長分別為，，，且滿足.??(1)證明：；(2)如圖，點在線段的延長線上，且，，當點運動時，探究是否為定值？【答案】(1)證明見解析(2)為定值.【分析】（1）利用正弦定理與余弦定理的邊角變換即可得證；（2）利用誘導公式與余弦定理，結合（1）中結論化得，從而得解.【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，再由余弦定得得，整理得.（2）因為互補，所以，結合余弦定理可得，因為，，則，整理得，又，則，64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 從而，故為定值.3．（2024·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？家荒＃┮阎瘮?shù)．(1)當時，求函數(shù)在上的值域；(2)在中，內角的對邊分別為為的平分線，若的最小正周期是，求的面積．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換將化為一般式，再利用整體法，結合正弦函數(shù)單調性，即可求得值域；（2）根據(jù)題意，求得，利用等面積法和余弦定理，求得，再求三角形面積即可.【詳解】（1）,當時，，又，故，又在上單調遞增，在單調遞減，且，故函數(shù)在上的值域為.（2）由（1）知，，由其最小正周期為，可得，又，解得，則；由，即，又，可得，則，即；為的平分線，故可得，則，即，；64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 在三角形中由余弦定理可得，即，將代入上式可得：，即，解得，或（舍去）；故的面積為.4．（2024·全國·模擬預測）已知四邊形的外接圓面積為，且為鈍角，(1)求和；(2)若，求四邊形的面積．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用外接圓面積求出外接圓半徑，進而由正弦定理得到，求出，再利用余弦定理求出；（2）求出，并利用正弦定理和余弦定理求出，，利用三角形面積公式求出，相加后得到答案.【詳解】（1）四邊形的外接圓面積為,即的外接圓面積為，設的外接圓半徑為，則，解得，在中，，即，故，因為為鈍角，所以為銳角，故，由余弦定理得，即，故，解得，負值舍去，64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （2），因為，所以，在中，由正弦定理得，又，故，解得，在中，由余弦定理得，即，解得，故，四邊形的面積為.5．（2023·山東濰坊·昌邑市第一中學校考模擬預測）在銳角中，角所對的邊分別為，滿足.(1)求角；(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，利用正弦定理得到，再由余弦定理求得，即可求解；（2）由（1）知，得到且，利用正弦定理和三角恒等變換的公式，化簡得到，結合正切函數(shù)的性質，即可求解.64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【詳解】（1）解：在銳角中，因為，由正弦定理得，可得，又由余弦定理，可得，因為，所以.（2）解：在銳角中，由（1）知，可得，且，可得，所以，所以，又，所以，所以，則，因為且，可得且，所以且，所以的取值范圍為.6．（2023·山東日照·校聯(lián)考模擬預測）如圖，在凸四邊形中，.(1)若，求的長；(2)若該四邊形有外接圓，求的最大值.【答案】(1)(2).【分析】（1）利用同角公式及差角的余弦公式，結合余弦定理求解即得.（2）根據(jù)給定條件，利用正弦定理求出，再利用三角恒等變換結合三角函數(shù)的性質即可求出最值.【詳解】（1）在中，由，得，則，64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 在中，由余弦定理得，所以.（2）由四邊形有外接圓，得，令此圓直徑為，由正弦定理得，又，則，而，因此，設，則，在中，由正弦定理，得，則，在中，同理得，因此，由，得，則當，即時，取得最大值1，所以的最大值是.7．（2024·全國·模擬預測）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其中，且．(1)求B的大小；(2)求面積的最大值．【答案】(1)(2)．【分析】（1）利用正弦定理、誘導公式及倍角公式計算即可；（2）利用余弦定理、三角形的面積公式及基本不等式計算即可.【詳解】（1）∵在中，，且，∴，由正弦定理得．∵，，∴．64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ∵，∴．∵，，，∴，∴，∴．（2）由（1）知，且，∴由余弦定理得，整理得．又∵，當且僅當時，等號成立，∴，即，當且僅當時，等號成立．∴，∴面積的最大值為．8．（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中學模擬預測）如圖，在四邊形中，為的中點，，，，(1)求；(2)若，，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）在中應用余弦定理求出，，然后在中，余弦定理求出，進而得到；（2）因為，所以，從而得到，然后在中，借助余弦定理求出的值.【詳解】（1）因為，，，為的中點，64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以在中，，所以，所以，在中，，所以，.（2）因為，所以，所以，所以，在中，，所以9．（2024·全國·模擬預測）在中，內角所對的邊分別為．(1)試判斷的形狀，并說明理由；(2)若，點在內，，，求．【答案】(1)為直角三角形(2)【分析】（1）先利用正弦定理將題給條件轉化為，再依據(jù)誘導公式和兩角和差正弦公式化簡，解之即可得到，進而得到為直角三角形；（2）先由，得到，再利用正弦定理和題給條件得到和之間的關系，進而求得的值．【詳解】（1）由正弦定理，可將化為，即．因為，所以．即，64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 即．所以或．所以或．又，即，所以，即．所以，則為直角三角形．（2）因為，所以．因為，所以．在中，，所以．所以．在Rt中，，所以．在中，設，則．由正弦定理，知，即．化簡，得．所以．因為，所以．10．（2023·山東濰坊·?？寄M預測）已知分別為內角的對邊，若同時滿足下列四個條件中的三個：①；②；③；④．(1)滿足有解三角形的序號組合有哪些，說明理由？(2)請在（1）所有組合中任選一組，求對應的面積．【答案】(1)①②③，①②④，理由見解析(2)答案不唯一，具體見解析【分析】（1）由③通過正弦定理邊化角、余弦定理可知，由④三角恒等變換可知，故③，④不能同時存在，由此即可得解.（2）首先由余弦定理求出第三邊，然后結合三角形面積公式即可得解.【詳解】（1）對于③，；64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 對于④，，即，且，則，故③，④不能同時存在，則滿足有解三角形的序號組合為①②③，①②④．（2）選①②③：時，由余弦定理：，整理得：且，則，的面積為．選①②④：時，由余弦定理：，整理得：，則，的面積．11．（2023·廣東·東莞市東華高級中學校聯(lián)考一模）已知在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.(1)求；(2)若邊上的中線長為，，求的周長.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理的邊角變換與三角函數(shù)的和差公式，化簡即可得解；（2）利用余弦定理即可得解.【詳解】（1）因為，所以由正弦定理得，則，因為，所以，則，64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 又，所以.（2）記的中點為，則，又，，所以，即，整理得，解得（負值舍去），所以，所以，則，所以的周長為.12．（2023·全國·模擬預測）銳角中，角的對邊分別為，，其中．(1)求角；(2)過點作，且四點共圓，，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理的推論和正弦定理進行角化邊，得，將代入得；（2）因為四點共圓，，所以是外接圓的直徑，由正弦定理可求得，在中，由正弦定理，可得，最后由三角形面積公式可解.【詳解】（1）由余弦定理的推論和正弦定理得，整理得，將代入得．又因為角是銳角，所以角．（2）因為四點共圓，，所以，所以是外接圓的直徑，64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 設外接圓的半徑為，則，得，即．因為，所以．在中，，所以．又為銳角，所以，所以，所以，所以．1．（2023年高考全國甲卷數(shù)學（文）真題）記的內角的對邊分別為，已知．(1)求；(2)若，求面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面積，對等式恒等變換，即可解出．【詳解】（1）因為，所以，解得：．（2）由正弦定理可得，變形可得：，即，而，所以，又，所以，故的面積為．2．（2023年高考全國乙卷數(shù)學（理）真題）在中，已知，，.(1)求；64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 (2)若D為BC上一點，且，求的面積.【答案】(1)；(2).【分析】(1)首先由余弦定理求得邊長的值為，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函數(shù)基本關系可得；(2)由題意可得，則，據(jù)此即可求得的面積.【詳解】（1）由余弦定理可得：，則，，.（2）由三角形面積公式可得，則.3．（2023年天津高考數(shù)學真題）在中，角所對的邊分別是．已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)正弦定理即可解出；（2）根據(jù)余弦定理即可解出；（3）由正弦定理求出，再由平方關系求出，即可由兩角差的正弦公式求出．64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【詳解】（1）由正弦定理可得，，即，解得：；（2）由余弦定理可得，，即，解得：或（舍去）．（3）由正弦定理可得，，即，解得：，而，所以都為銳角，因此，，．4．（2023年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學真題）已知在中，．(1)求；(2)設，求邊上的高．【答案】(1)(2)6【分析】（1）根據(jù)角的關系及兩角和差正弦公式，化簡即可得解；（2）利用同角之間的三角函數(shù)基本關系及兩角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根據(jù)等面積法求解即可.【詳解】（1），，即，又，，，，即，所以，.（2）由（1）知，，由，64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 由正弦定理，，可得，，.5．（2023年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學真題）記的內角的對邊分別為，已知的面積為，為中點，且．(1)若，求；(2)若，求．【答案】(1)；(2).【分析】（1）方法1，利用三角形面積公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面積公式求出，作出邊上的高，利用直角三角形求解作答.（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面積公式求出即可求解作答；方法2，利用向量運算律建立關系求出a，再利用三角形面積公式求出即可求解作答.【詳解】（1）方法1：在中，因為為中點，，，??則，解得，在中，，由余弦定理得，即，解得，則，，所以.方法2：在中，因為為中點，，，64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 則，解得，在中，由余弦定理得，即，解得，有，則，，過作于，于是，，所以.（2）方法1：在與中，由余弦定理得，整理得，而，則，又，解得，而，于是，所以.方法2：在中，因為為中點，則，又，于是，即，解得，又，解得，而，于是，所以.6．（2022年新高考天津數(shù)學高考真題）在中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c.已知.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)余弦定理以及解方程組即可求出；（2）由（1）可求出，再根據(jù)正弦定理即可解出；（3）先根據(jù)二倍角公式求出，再根據(jù)兩角差的正弦公式即可求出．64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【詳解】（1）因為，即，而，代入得，解得：．（2）由（1）可求出，而，所以，又，所以．（3）因為，所以，故，又，所以，，而，所以，故．7．（2022年新高考全國II卷數(shù)學真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．【答案】(1)(2)【分析】（1）先表示出，再由求得，結合余弦定理及平方關系求得，再由面積公式求解即可；（2）由正弦定理得，即可求解.【詳解】（1）由題意得，則，即，由余弦定理得，整理得，則，又，則，，則；64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （2）由正弦定理得：，則，則，.8．（2022年高考全國乙卷數(shù)學（文）真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)證明：【答案】(1)；(2)證明見解析．【分析】（1）根據(jù)題意可得，，再結合三角形內角和定理即可解出；（2）由題意利用兩角差的正弦公式展開得，再根據(jù)正弦定理，余弦定理化簡即可證出．【詳解】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，顯然，所以，，而，，所以．（2）由可得，，再由正弦定理可得，，然后根據(jù)余弦定理可知，，化簡得：，故原等式成立．9．（2022年新高考全國I卷數(shù)學真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根據(jù)二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將化成，再結合，即可求出；（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式將化成，然后利用基本不等式即可解出．【詳解】（1）因為，即，而，所以；（2）由（1）知，，所以，而，所以，即有，所以所以．當且僅當時取等號，所以的最小值為．10．（2022年高考全國乙卷數(shù)學（理）真題）記的內角的對邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長．【答案】(1)見解析(2)14【分析】（1）利用兩角差的正弦公式化簡，再根據(jù)正弦定理和余弦定理化角為邊，從而即可得證；（2）根據(jù)（1）的結論結合余弦定理求出，從而可求得，即可得解.【詳解】（1）證明：因為，64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以，所以，即，所以；（2）解：因為，由（1）得，由余弦定理可得，則，所以，故，所以，所以的周長為.64學科網(wǎng)（北京）股份有限公司