湖南省天壹名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 Word版含解析.docx

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2024年上學(xué)期高二3月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷本試卷共4頁.全卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名，準考證號填寫在本試卷和答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)的答案標號涂黑，如有改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無放.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.2.已知，則（）A.2B.C.D.43.過三點圓的標準方程為（）A.B.C.D.4.某次公益教育活動中有三個班級的授課任務(wù)，現(xiàn)有甲?乙?丙?丁4名老師報名參加，每個班級僅需要1名老師，每名老師最多在一個班級授課，若甲不能到第一個班級授課，則不同的安排方法共有（）A.18種B.32種C.22種D.36種5.已知正項等比數(shù)列的前項和為，則（）A.B.14C.D.6.楊輝三角是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)，其分布規(guī)律如圖所示，記圖中第行第列的元素為，則的值為（）A.210B.84C.126D.106 7.近日，經(jīng)我國某地質(zhì)與生命科研所研究發(fā)現(xiàn)，在熱帶雨林地帶，某種喬木型果樹的根莖長度（單位：米）與其存活時間（單位：年）近似滿足函數(shù)模型：.當(dāng)該種果樹的根莖長度大于2.9米時，其可穩(wěn)定扎根于土壤中，吸收土壤中的水分和養(yǎng)料從而進入“穩(wěn)定期”，則該種果樹從栽種開始至少需要幾年才能進入“穩(wěn)定期”（）A.4B.5C.6D.78.棱長為2的正方體，以上下底面中心的連線為對稱軸旋轉(zhuǎn)角度后與原正方體公共區(qū)域的體積為，則（）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得3分，有選錯得0分.9.已知函數(shù)的最大值為，則（）A.B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.的圖象關(guān)于點對稱D.曲線的對稱軸方程為10.已知的展開式中第4項與第5項的二項式系數(shù)相等，則（）A.B.所有項的系數(shù)和為128C.常數(shù)項為945D.的系數(shù)為2111.對于對稱軸不為坐標軸的圓錐曲線，我們可以通過線性換元法來判斷它的形狀，如曲線，我們令，可以將轉(zhuǎn)化為，進而得知曲線的形狀是橢圓；再如，我們令，可以將轉(zhuǎn)化為，進而得知曲線的形狀是拋物線.根據(jù)以上信息，下列說法正確的是（）A.曲線的形狀是雙曲線 B.曲線的形狀是橢圓C.曲線的形狀是橢圓D.若曲線的形狀是雙曲線，則的取值范圍是三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)為__________.13.函數(shù)的最大值為__________.14.某省要求高考考場內(nèi)最多安排30個座位，某地考點擬每個考場采用7788的行列分布座位（如圖），則考生甲與考生乙既不前后相鄰，也不左右相鄰的坐法共有__________種.講臺前門1161730215182931419284132027512212661122257102324后門89四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程及演算步驟.15.（13分）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求；（2）若，求.16.（15分）已知正項數(shù)列的前項和為，數(shù)列和是公差分別為1和的等差數(shù)列.（1）求的通項公式； （2）證明：.17.（15分）如圖所示多面體是由長方體和圓柱的一部分組成，其中分別是以點為圓心，圓心角為的圓弧的一部分，分別是的中點，，為的中點.（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.18.（17分）已知偶函數(shù)和奇函數(shù)均為冪函數(shù)，，且.（1）若，證明：；（2）若，且，求的取值范圍.19.（17分）已知拋物線的準線方程為，過點作兩條不重合的直線和與交于兩點，與交于兩點，且.設(shè)中點為中點為中點為.（1）求的方程；（2）證明：在定直線上，且的斜率為定值. 2024年上學(xué)期高二3月大聯(lián)考·數(shù)學(xué)參考答案?提示及評分細則1.【答案】D【解析】由題意可得，故，故選D.2.【答案】B【解析】由題意可得，故，故選B.3.【答案】D【解析】解法一：易知是直角三角形，外接圓的圓心為斜邊的中點，半徑其標準方程為，故選D.解法二：設(shè)圓的方程為，則其標準方程為，故選D.4.【答案】A【解析】若甲老師去第一個班級授課，則不同的安排方法有種，若對甲老師授課班級不限制，則不同的安排的方法有種，故安排方法共有種，故選.5.【答案】C【解析】記等比數(shù)列的公比為，由題可知，解得或（舍去），所以，故選C.6.【答案】C【解析】由已知可得，故選C.7.【答案】C【解析】易知在上單調(diào)遞增， ，即，所以至少需要6年才能進入“穩(wěn)定期”.故選C.8.【答案】A【解析】以正方體一面中心為原點建立如圖所示坐標系，旋轉(zhuǎn)后公共部分為棱柱，底面積為兩個正方形公共部分的面積（圖中陰影部分為例），由對稱性知，由圖可知直線傾斜角為，設(shè)，則點到的距離為，.令，則，故選A.9.【答案】BC【解析】因為的最大值為，所以，解得，故A錯誤；時，，是的增區(qū)間，故B正確；，故C正確；令，可得曲線的對稱軸方程為，故D錯誤.10.【答案】ABD【解析】因為第4項與第5項的二項式系數(shù)相等，所以解得，故正確；令，可得展開式中所有項的系數(shù)和為，故B正確；在中，第項 ，取，即，所以不存在常數(shù)項，故C錯誤；取，即，所以，所以的系數(shù)為21，故D正確，故選ABD.11.【答案】AC【解析】令，則轉(zhuǎn)化為，其形狀為雙曲線，故A正確；令，則轉(zhuǎn)化為，其形狀為拋物線，故B錯誤；令，則轉(zhuǎn)化為，再令，則曲線轉(zhuǎn)化為，其形狀為橢圓，故C正確；令，則轉(zhuǎn)化為，當(dāng)或時均不符合題意，再令，則轉(zhuǎn)化為，若，則不為雙曲線；若，則，則有或，綜上的取值范圍是，故D錯誤，故選AC.12.【答案】9【解析】將樣本數(shù)據(jù)從小到大排列為.因為其中，所以分位數(shù)為從小到大排列的第2個數(shù)和第3個數(shù)的平均數(shù)，即為，故答案為9.13.【答案】2【解析】由題意可得.令，解得；令，解得，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故答案為2.14.【答案】774 【解析】本題考查學(xué)生在具體情景下對排列組合多情況分類討論以及計算能力，根據(jù)給出的考場排布圖可以看出位置與位置之間具有共性，是可以等效的，所以分三種情況：①位置等效，有種情況.②位于邊界但不處于①中位置的位置等效，有種情況.③不位于①②所說位置的位置等效，有種情況，全部相加得到答案為774種.15.【解析】（1）由已知得，即，即，即，因為，所以.（2）由余弦定理得，，解得，由正弦定理得，.16.【解析】（1）由題意知，解得.故，所以，又也滿足，故.注：如果考生只代入的特殊情況得出答案，最多得4分.（2）由（1）得，累加可得得.17.【解析】（1）證明：連接，設(shè)與交于點.易知四邊形為平行四邊形；因為在四邊形中，與交點為中點，為中點，所以為的中位線，所以； 因為平面平面，所以平面.（2）以為原點，方向為軸，方向為軸，方向為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.則，設(shè)平面的法向量，則.令，得，所以；易知平面的一個法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.18.【解析】（1）證明：由題意，設(shè).由，得.方法一：則，因為函數(shù)單調(diào)遞減，所以.方法二：則，由冪函數(shù)的性質(zhì)可知，，所以..因為為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，所以 ，則.因為，所以，因此.（2）因為，所以.顯然.當(dāng)時，的定義域為，令解得（負根舍去）.當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故的最小值為.因為，所以，解得，所以符合題意.當(dāng)時，的定義域為，令解得（正根舍去）.當(dāng)時，；當(dāng).所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故的最小值為.因為，所以，解得，所以符合題意.綜上所述，的取值范圍為.19.【解析】（1）因為準線方程為，所以，所以的方程為.（2）設(shè)，由可得，所以，設(shè)，聯(lián)立和，得.，所以， 又因為，所以，又由，可化簡得，同理可得，所以和是方程的兩個根，所以，，同理得，所以，所以1，點在定直線上.