微分方程及其應(yīng)用

《微分方程及其應(yīng)用》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫。

1、第九章微分方程及其應(yīng)用§9.1微分方程及其相關(guān)概念所謂微分方程，就是含有自變量、自變量的未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程。例如，以下各式都是微分方程：⑴.⑵⑶.⑷.⑸.只含一個自變量的微分方程,稱為常微分方程,自變量多于一個的稱為偏微分方程。本章只研究常微分方程，因而以后各節(jié)提到微分方程時均指常微分方程。微分方程中所含有的未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，稱為該微分方程的階。例如，⑴、⑶為一階方程，⑵、⑷為二階方程，而⑸為n階方程。微分方程中可以不含有自變量或未知函數(shù)，但不能不含有導(dǎo)數(shù)，否則就不成為微分方程。微分方程與普通代數(shù)方程有著很大的差別，建立微分方程

2、的目的是尋找未知函數(shù)本身。如果P196有一個函數(shù)滿足微分方程，即把它代入微分方程后，使方程變成（對自變量的）恒等式，這個函數(shù)就叫做微分方程的解。例如顯然是⑴的解，因為。若方程解中含有獨立的任意常數(shù)的個數(shù)等于微分方程的階數(shù)，則稱此解為微分方程的通解，例如就是⑴的通解。從通解中取定任意常數(shù)的一組值所得到的解，稱為微分方程的特解。例如就是⑴的一個特解。用來確定通解中任意常數(shù)值的條件稱為定解條件，當(dāng)自變量取某個值時，給出未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的相應(yīng)值的條件稱為初始條件。在本章中，我們遇到的用來確定任意常數(shù)值的條件一般為初始條件。例如，如果⑴的初始條件為，則在代入到通解后，可

3、以求得，從而得到特解。一般的，因為階微分方程的通解中含有個獨立的任意常數(shù)。需要有個（一組）定解條件，所以階方程的初始條件為：其中為個給定常數(shù)。微分方程的解所對應(yīng)的幾何圖形叫做微分方程的積分曲線。通解的幾何圖形是一族積分曲線，特解所對應(yīng)的幾何圖形是一族積分曲線中的某一條。例如，方程⑴的積分曲線族如圖9－１所示。其中就是滿足初始條件的特解。§9.2微分方程的經(jīng)典案例例1自由落體運動的規(guī)律自由落體運動是指物體在僅受到地球引力的作用下，初速度為零的運動。根據(jù)經(jīng)典力學(xué)的牛頓第二定律：物體動量變化的大小與它所受到的外力成正比，其方向與外力的方向一致。當(dāng)物體的運動速度的絕對

4、值不大（與光速=3km/s相比較）時，其質(zhì)量可以是一恒量。于是這一運動定律能表達(dá)成或（1）其中表示物體所受外力的合力。對于僅受到地球引力作用的自由落體的運動，則有：這里表示重力加速度，其大小一般取為：；表示自由落體運動的路程，其大小以表示之。注意到的方向與的方向一致，將代入式⑴后得到自由落體運動立場大小變化的規(guī)律：或（2）運動規(guī)律式⑵表示一個微分方程問題。等式（2）的左端是路程大小的二次微商它的右端是常數(shù)。這里和之間不是普通的函數(shù)關(guān)系，而是二微商的關(guān)系。例2單擺運動單擺又稱為鐘擺或數(shù)學(xué)擺。所謂單擺運動是指一質(zhì)量為>0的小球，用長度為的柔軟細(xì)繩拴住，細(xì)繩的一端固

5、定在某點O處。小球在鉛垂平面內(nèi)運動，略去空氣的阻力和細(xì)繩在O點處的摩擦力。并且認(rèn)為細(xì)繩的長度不變，僅考慮地球的引力和細(xì)繩對小球的拉力（見圖9－2）。在鉛垂平面內(nèi)引進(jìn)以O(shè)為坐標(biāo)原點的極坐標(biāo)系統(tǒng)，由于細(xì)繩長度不變且細(xì)繩總是直的，所以小球的位置用一個坐標(biāo)就能表示。這里表示細(xì)繩和鉛垂方向之間的夾角。鉛垂方向即是小球的平衡方向，它對應(yīng)的為零。作用在小球上的地球引力的大小為，其方向鉛垂向下。重力沿細(xì)繩方向的分力的大小為，其方向沿細(xì)繩指向外。這個力與小球運動所需要的向心力剛好平衡。所以小球沿細(xì)繩方向沒有運動。重力在垂直于細(xì)繩方向的分力的大小為，它的方向與角增加的方向相反。根

6、據(jù)牛頓第二定律得到單擺運動的規(guī)律為：（3）根據(jù)圓周運動規(guī)律有：于是從式（3）得出：（4）關(guān)系式（4）是包含及其二接微商的方程，并且不是線性而是非線性地出現(xiàn)在方程中（以這種非線性形式）。從方程（4）來求出隨著時間變化規(guī)律的分析表達(dá)式是困難的。當(dāng)比較小時，對微分方程（4）能夠進(jìn)行線性化出處理，即用代替，或者說，用來近似。這樣得到式（4）的線性化微分方程：在相同初始條件下服從微分方程求得的隨時間變化的規(guī)律是單擺運動的近似規(guī)律。通常將式寫成如下的規(guī)范形式：（5）其中。例1真空中的拋射體運動在真空中運動的拋射體，它的運動規(guī)律十分復(fù)雜。這里僅考慮在真空中拋射體的運動規(guī)律。

7、即忽略拋射體所受的空氣阻力，而僅考慮質(zhì)量為的拋射體受地球引力作用而引起的運動。取一直角坐標(biāo)系，軸沿水平方向；軸垂直于軸；軸垂直于平面，并與軸、軸一起組成右手坐標(biāo)系。依牛頓第二定律，拋射體的運動規(guī)律為：（6）拋射體的初始狀態(tài)取為：其中是拋射體的初始速度，位于平面內(nèi)，表示的大?。槐硎九c水平方向（即軸）之間的夾角（見圖9-4）。例1深水炸彈的水下運動一質(zhì)量為的深水炸彈，從高為處自由下落到海中。這里不考慮深水炸彈在水平方向的運動，而僅考慮它在鉛直方向的運動。由經(jīng)典力學(xué)知：物體由高為處自由下落至海平面時，其鉛垂方向的速度為：這里為重力加速度。按如下方式取定坐標(biāo)系：坐標(biāo)原

8、點取在海平面上某處，軸沿鉛垂向下，（見