函數(shù)求值域方法之值域換元法

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1、WORD格式整理函數(shù)求值域方法之值域換元法求值域的方法有很多，在眾多的方法中，換元法是比較常用且非常有效的求解值域的辦法，這里，給大家總結(jié)五種常見(jiàn)的換元方法，歡迎大家補(bǔ)充。五種常見(jiàn)換元辦法：①一般換元法；②三角換元法（難度較大）；③三角換常值換元法；④雙換元法；⑤整體換元法類(lèi)型一：一般換元法形如：y=ax+b方法：本形式下，部分函數(shù)在取值區(qū)間內(nèi)，單調(diào)性確定，所以可以直接使用單調(diào)性判斷，單調(diào)性無(wú)法確定的時(shí)候，本題可使用一般換元的思路，令t=，用t表示x，帶入原函數(shù)得到一個(gè)關(guān)于t的二次函數(shù)，求解值域即可。例1：求函數(shù)的值域分析：本題，在取值區(qū)間內(nèi)，x單調(diào)增，單調(diào)增

2、，兩個(gè)單調(diào)增的函數(shù)相減無(wú)法直接判斷單調(diào)性，所以單調(diào)性無(wú)法確認(rèn)，考慮使用一般換元。解：另（），則，代入得（）本題實(shí)求二次函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的范圍當(dāng)，所以變式：求函數(shù)的值域分析：本題，在取值區(qū)間內(nèi)，x單調(diào)增，單調(diào)增，兩個(gè)單調(diào)增的專(zhuān)業(yè)知識(shí)分享WORD格式整理函數(shù)相加，所以整個(gè)函數(shù)在取值區(qū)間上單調(diào)遞增所以即可答案：由于一般換元法相對(duì)來(lái)說(shuō)比較簡(jiǎn)單，這里就不贅述，留一道練習(xí)練習(xí)：求的值域類(lèi)型二：三角換元記住一句話(huà)：三角換元一個(gè)大原則，三個(gè)常用公式A、一個(gè)大原則：有界，換成無(wú)界，換成B、三個(gè)常用公式：①遇到，且前面系數(shù)為，常用②遇到，且前面系數(shù)為1，常用③巧用萬(wàn)能公式：三角換

3、元時(shí)，尤其注意確定好的取值范圍，下面用具體的例題跟大家說(shuō)明。例2：求的值域分析：本題若使用一般換元法，則只能得到與之間的關(guān)系，操作起來(lái)比較麻煩，換元法本身的目的就是要使得題目變得更為簡(jiǎn)單便捷，所以一般換元法失靈，考慮使用三角換元，因?yàn)榍懊娴南禂?shù)是-1，所以使用公式①換元解：令，，，專(zhuān)業(yè)知識(shí)分享WORD格式整理另（原因：方便后面化出來(lái)的，不用討論正負(fù)性了）代入，得=，輔助角公式，合一變形得：（），變式：求的值域分析：另即可答案：例3：求的值域分析：本題前面的系數(shù)是1，所以考慮使用公式②解：另UU，UU變式：求的值域分析：專(zhuān)業(yè)知識(shí)分享WORD格式整理，使用三角公式

4、具體過(guò)程問(wèn)群主喲答案：例4：求的值域分析：本題是高次式求值域，通過(guò)常規(guī)的解法很難操作，因而我們通過(guò)轉(zhuǎn)化，進(jìn)行三角換元，再求解值域。解：到這一步以后，自然而然想到我們的第三個(gè)三角公式—萬(wàn)能公式對(duì)f（x）再進(jìn)行轉(zhuǎn)化令類(lèi)型三：三角換常值換元法本類(lèi)型主要是三角函數(shù)求值域下的一類(lèi)，由于涉及換元，所以在本專(zhuān)題下講解，此類(lèi)題目主要是針對(duì)分式形式的三角函數(shù)，用到的換元方法是萬(wàn)能公式的逆向應(yīng)用。由于，可令，則專(zhuān)業(yè)知識(shí)分享WORD格式整理就轉(zhuǎn)化成了關(guān)于t的函數(shù)，再根據(jù)一般函數(shù)求解值域的辦法求解（在另外專(zhuān)題中講解）例5：求的值域分析：本題解法頗多，這里主要講解兩種方法。利用萬(wàn)能公式

5、我們可以把正余弦轉(zhuǎn)發(fā)為關(guān)于t的函數(shù)；當(dāng)然本題也可用斜率的相關(guān)知識(shí)求解。解：方法一：萬(wàn)能公式法令，但是，，當(dāng)，分母是對(duì)勾函數(shù)，應(yīng)用對(duì)勾函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，可得值域方法二：斜率法（聯(lián)系群主要哦）類(lèi)型四：雙換元法例6：求的值域分析：本題含有兩個(gè)根號(hào)，使用一次換元，無(wú)法把根號(hào)去掉。有根號(hào)的題目，要么換元，要么平方，要么分子分母有理化。本題介紹兩種解法。解：方法一：平方法本題實(shí)求在時(shí)，的取值范圍，二次函數(shù)求范圍，，專(zhuān)業(yè)知識(shí)分享WORD格式整理方法二：雙換元法令本題等價(jià)于：已知，求接下來(lái)有兩種思路：思路一：專(zhuān)業(yè)知識(shí)分享