求函數(shù)定義域與值域若干方法

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1、求函數(shù)定義域與值域的若干方法函數(shù)定義域與值域的定義給定兩個(gè)實(shí)數(shù)集和，若有對(duì)應(yīng)法則,使得對(duì)內(nèi)每一個(gè)數(shù)，都有唯一的一個(gè)數(shù)與它相對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)是定義在數(shù)集上的函數(shù)，數(shù)集稱(chēng)為函數(shù)的定義域，所對(duì)應(yīng)的數(shù)稱(chēng)為在點(diǎn)的函數(shù)值常記作，全體函數(shù)值的集合稱(chēng)為函數(shù)的值域.1.函數(shù)的定義域的求法在函數(shù)解析式的研究中，必需考慮數(shù)值計(jì)算是否合理，常遇到的考慮是：（1）對(duì)分式：分母不為0；（2）對(duì)偶次根式：被開(kāi)方式大于0；（3）對(duì)于對(duì)數(shù)：真數(shù)大于0（底數(shù)中若含有自變量時(shí)，還要考慮底數(shù)大于0，且底數(shù)不等于1）；（4）對(duì)于三角函數(shù)：正弦、余弦函數(shù)，正切、余切函數(shù)，（k為整數(shù)）余切、余割函

2、數(shù)，（k為整數(shù)）（5）對(duì)于反三角函數(shù)：必須有，必須有如果涉及到幾個(gè)方面時(shí)，就可解不等式組，求出定義域.對(duì)于實(shí)際問(wèn)題或幾何問(wèn)題，必須使實(shí)際問(wèn)題或幾何問(wèn)題有意義.1.1整式函數(shù)的定義域整數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù)，例如=2x+4和=的定義域都是一切實(shí)數(shù).141.2分式函數(shù)的求法用分式表示的函數(shù)的定義域的求法可以由解出值來(lái).即其定義域是使分母的值不為0的所有實(shí)數(shù).例1求函數(shù)的定義域.分析：函數(shù)是形式的分式函數(shù)，因此該函數(shù)的定義域?yàn)闈M(mǎn)足的所有的取值.解：由得，知,所以函數(shù)的定義域?yàn)?點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是了解分式函數(shù)的定義域?yàn)闈M(mǎn)足分母不為0的所有的解集1.3無(wú)理

3、函數(shù)的定義域用無(wú)理式表示的函數(shù)的定義域的求法：（1）當(dāng)為奇數(shù)，且表示整式時(shí)，為任何實(shí)數(shù)；（2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，由不等式解出的范圍.例2求函數(shù)的定義域.分析：無(wú)理函數(shù)中為偶數(shù)，因此只需滿(mǎn)足，解出為所求.解：由解得或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?點(diǎn)評(píng)：函數(shù)的定義域?yàn)榈乃械募?例3求函數(shù)的定義域.分析：無(wú)理函數(shù)的定義域要滿(mǎn)足無(wú)理函數(shù)與都成立，即解：由解得所以函數(shù)的定義域?yàn)?14點(diǎn)評(píng)：本題解題的關(guān)鍵是明白滿(mǎn)足函數(shù)的所有應(yīng)滿(mǎn)足函數(shù)的同時(shí)同樣也滿(mǎn)足所以函數(shù)的定義域?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的交集.1.4對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?qū)?shù)函數(shù)（其中但）的定義域的求法，由不等式解出的范圍.例4求函

4、數(shù)的定義域.分析：函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)形式，我們知道對(duì)數(shù)函數(shù)定義域其中，因此只需解出解：由，，得，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋狐c(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是了解的定義域?yàn)榈娜≈担缘亩x域?yàn)榈牡募?1.5三角函數(shù)的定義域（1）正弦函數(shù)和與弦函數(shù)的定義域都是一切實(shí)數(shù).（2）函數(shù)的定義域可由（為整數(shù)）解出.（3）函數(shù)的定義域可由（為整數(shù)）解出.例5求函數(shù)的定義域.分析：函數(shù)的定義域可由（為整數(shù)）解出，在函數(shù)中，因此只需解出即可解：由得，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋狐c(diǎn)評(píng)：函數(shù)的定義域可由（為整數(shù)）解出，由14所以例6求函數(shù)的定義域.分析：函數(shù)的定義域可由（為整數(shù)）解出，在函數(shù)中，因此

5、要求原函數(shù)定義域只需解出即可.解：由解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?點(diǎn)評(píng)：函數(shù)的定義域可由（為整數(shù)）解出，由所以.1.6反三角函數(shù)的定義域（1）反三角函數(shù)的定義域可由解出.（2）反余弦函數(shù)的定義域可由解出.例7求函數(shù)的定義域.分析：可以看出分式函數(shù)的定義域應(yīng)同時(shí)滿(mǎn)足函數(shù)與且分母，我們知道反三角函數(shù)的定義域可由解出，對(duì)數(shù)函數(shù)（其中但）的定義域由不等式解出的范圍，因此原函數(shù)的定義域只需解出方程組，，即可解：由，，知，且，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?1.7冪函數(shù)的定義域方冪函數(shù)14的指數(shù)是無(wú)理數(shù)或含有變數(shù)時(shí)，若使這方冪有意義，必須使冪的底數(shù)為正.例8函數(shù)的定義域

6、為例9函數(shù)的定義域?yàn)?.8復(fù)合函數(shù)的定義域設(shè)在中，的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?，則得定義域?yàn)?，?例10設(shè)的定義域?yàn)?，求下列函?shù)的定義域；(1)；(2)；(3).解：（1），知定義域?yàn)椋海?）l,知定義域?yàn)椋海?），知函數(shù)定義域?yàn)椋狐c(diǎn)評(píng)：對(duì)于以上3小題中，原函數(shù)的定義域分別為(1)(2)(3)的內(nèi)函數(shù)的值域.2.函數(shù)值域的求法一般說(shuō)來(lái)，函數(shù)的值域受其定義域的制約，幾種常見(jiàn)的基本初等函數(shù)的值域如下：（1）常數(shù)函數(shù)，值域?yàn)橐粋€(gè)值c的集即（2）冪函數(shù)（n為正整數(shù)）的值域?yàn)椋海?）指數(shù)函數(shù)，值域?yàn)椋海?）對(duì)數(shù)函數(shù)值域?yàn)椋?4（5）正弦函數(shù)，余弦函數(shù)，值域?yàn)椋海?/p>

7、6）正切函數(shù)，余切函數(shù)，值域?yàn)椋海?）正割函數(shù),余割函數(shù),值域?yàn)椋呵蠛瘮?shù)值域的基本方法主要有：觀察法、三角函數(shù)法、反函數(shù)法、換元法、配方法、不等式發(fā)、判別式法、單調(diào)性法、數(shù)形結(jié)合法.2.1觀察法：有些函數(shù)的結(jié)構(gòu)并不復(fù)雜，可以通過(guò)基本函數(shù)的值域及不等式的性質(zhì)直接觀察出函數(shù)的值域.如函數(shù)的值域?yàn)?2.2三角函數(shù)法：利用三角函數(shù)的有界性求值域.例1求函數(shù)的值域.分析：我們可以看出函數(shù)中可以用表示，由可以解出的取值范圍.解：原函數(shù)關(guān)于的方程：所以函數(shù)的值域?yàn)椋?點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是用表示，再用的有界性求的范圍.2.3反函數(shù)法：用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域和值域

8、的關(guān)系，通過(guò)求反函數(shù)的定義域而得到原函數(shù)的值域.形如的函數(shù)值域可用此法.例2求函數(shù)的值域.分析：函數(shù)是形如的函數(shù)，因此要求其值域只需求其