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《數(shù)量積向量積混合積》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫。
1、第三節(jié)數(shù)量積向量積混合積分布圖示★兩向量的數(shù)量積★數(shù)量積的運(yùn)算★例1★例2★例3★例4★例5★向量積概念的引入★向量積的定義★向量積的運(yùn)算★例6★例7★例8★例9★例10★向量的混合積★混合積的幾何意義★例11★例12★例13★內(nèi)容小結(jié)★課堂練習(xí)★習(xí)題8-3★返回內(nèi)容要點(diǎn)一、兩向量的數(shù)量積定義1設(shè)有向量、，它們的夾角為，乘積稱為向量與的數(shù)量積（或稱為內(nèi)積、點(diǎn)積），記為，即.根據(jù)數(shù)量積的定義，可以推得：（1）;（2）;（3）設(shè)、為兩非零向量，則的充分必要條件是.數(shù)量積滿足下列運(yùn)算規(guī)律：（1）交換律（2）分配律（3）結(jié)合
2、律,（為實(shí)數(shù)）.二、兩向量的向量積定義2若由向量與所確定的一個(gè)向量滿足下列條件：（1）的方向既垂直于又垂直于,的指向按右手規(guī)則從轉(zhuǎn)向來確定（圖8-3-4）；（2）的模，(其中為與的夾角)，則稱向量為向量與的向量積（或稱外積、叉積），記為.根據(jù)向量積的定義，即可推得（1）；（2）設(shè)、為兩非零向量，則的充分必要條件是.向量積滿足下列運(yùn)算規(guī)律:（1）（2）分配律（3）結(jié)合律,（為實(shí)數(shù)）.三、向量的混合積例題選講兩向量的數(shù)量積例1(E01)已知求(1)(2)與的夾角;(3)與上的投影.解(1)(2)(3)例2證明向量與向量垂
3、直.證例3試用向量方法證明三角形的余弦定理.證如圖所示(見系統(tǒng)演示),設(shè)在中,現(xiàn)要證記則有從而由即得例4(E02)設(shè)與垂直,與垂直,求與之間的夾角.解所以,即(1)又所以即(2)聯(lián)立方程(1),(2)得所以，例5(E03)設(shè)液體流過平面S上面積為A的一個(gè)區(qū)域,液體在這區(qū)域上各點(diǎn)處的流速均為(常向量)v.設(shè)n為垂直于S的單位向量(圖7-3-3a),計(jì)算單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過這區(qū)域流向n所指一方的液體的質(zhì)量P(液體的密度為).解如圖(見系統(tǒng)演示)，單位時(shí)間內(nèi)流過這區(qū)域的液體組成一個(gè)底面積為、斜高為的斜柱體,這柱體的斜高與底面的垂
4、線的夾角就是與的夾角所以這柱體的高為體積為從而，單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過這區(qū)域流向所指一方的液體的質(zhì)量為兩向量的向量積例6(E04)求與都垂直的單位向量.解例7在頂點(diǎn)為和的三角形中,求AC邊上的高BD.解三角形的面積為又所以從而例8設(shè)向量兩兩垂直,伏隔右手規(guī)則,且計(jì)算解依題意知與同向,例9(E05)設(shè)剛體以等角速度繞l軸旋轉(zhuǎn),計(jì)算剛體上一點(diǎn)M的線速度.解剛體繞軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，我們可以用在軸上的一個(gè)向量表示角速度，它的大小等于角速度的大小，它的方向由右手規(guī)則寫出:即右手握住軸,當(dāng)右手的四個(gè)手指的轉(zhuǎn)向與剛體的旋轉(zhuǎn)方向一致時(shí)，大拇指的指向
5、就是的方向，如圖，設(shè)點(diǎn)至旋轉(zhuǎn)軸的距離為再在軸上任取一點(diǎn)作向量并以表示與的夾角，則設(shè)線速度為那么由物理學(xué)上線速度與角速度的關(guān)系可知,的大小為的方向垂直于通過點(diǎn)與軸的平面，即垂直于與又的指向是使符合右手規(guī)則.因此有例10利用向量積證明三角形正弦定理.證設(shè)的三個(gè)內(nèi)角為三邊長為,如圖(見系統(tǒng)演示).因?yàn)?，所以故即兩邊取模即故同理可證因此三角形正弦定理得證.向量的混合積例11(E06)已知,計(jì)算解例12(E07)已知空間內(nèi)不在同一平面上的四點(diǎn)求四面體的體積.解由立體幾何知，四面體的體積等于以向量、、為棱的平行六面體的體積的六分
6、之一:式中正負(fù)號的選擇必須和行列式的符號一致例13已知,求一單位向量使,且與此同時(shí)共面.解設(shè)所求向量依題意與共面，可得(1)即(2)即(3)將式(1)式(2)與式(3)聯(lián)立解得或或或所以課堂練習(xí)1.已知向量證明2.已知兩兩垂直,且求的長度與它和的夾角.
