一類具時滯的造血模型的穩(wěn)定性與分支分析

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1、哈爾濱工業(yè)大學(xué)理學(xué)碩士學(xué)位論文第1章緒論1.1課題背景及文獻(xiàn)綜述數(shù)學(xué)模型作為一種重要的生態(tài)學(xué)研究方法，在解釋生態(tài)現(xiàn)象，描述生態(tài)系統(tǒng)物質(zhì)、能量、信息、價值流向等生態(tài)變化過程，揭示生態(tài)系統(tǒng)內(nèi)在規(guī)律，預(yù)測生態(tài)變化趨勢，定向調(diào)控可管理生態(tài)系統(tǒng)，優(yōu)化管理生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)等許許多多問題中，都發(fā)揮了或正在發(fā)揮著巨大的作用，數(shù)學(xué)模型不僅是對生態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行定性分析和定量研究的理論基礎(chǔ)之一，而且是解決生態(tài)學(xué)實(shí)際問題，優(yōu)化管理農(nóng)、林、牧、漁業(yè)生態(tài)系統(tǒng)，提高生態(tài)經(jīng)濟(jì)效益的技術(shù)手段之一。用微分方程建立各種生物模型在20世紀(jì)50年代曾獲得轟動性成果：1952年描述神經(jīng)脈沖傳導(dǎo)過程的數(shù)學(xué)模

2、型——Hodgkin-Huxley方程和1958年描述視覺系統(tǒng)側(cè)抑制作用的Hartline-Ratliff方程，它們都是復(fù)雜的非線性微分方程組，引起了數(shù)學(xué)家和生物學(xué)家的濃厚興趣。這兩項(xiàng)工作分別獲得了1963年度和1967年度Nobel醫(yī)學(xué)生理學(xué)獎。時滯微分方程在控制理論已經(jīng)應(yīng)用了很多年。除了理想的情形以外，動力系統(tǒng)總是存在滯后現(xiàn)象的，即使質(zhì)點(diǎn)間力的傳遞或者以光速傳遞的信息也是如此。在自動控制的裝置中，從輸入信號到收到反饋信號，也必然相差一段時間，因此，用傳統(tǒng)的微分方程去描述系統(tǒng)的狀態(tài)只是一種近似，必須符合精度的要求才行，否則將導(dǎo)致錯誤。對于時滯微分方程的

3、研究已有大量的專著出現(xiàn)，如[1][2][3]等等，但近幾年時滯微分方程才被應(yīng)用在生物模型中。大多數(shù)生物系統(tǒng)都具固有的時滯，但是由于系統(tǒng)的復(fù)雜性，很少有人把方程應(yīng)用于此。時滯微分方程對實(shí)際的現(xiàn)象提供了基本的數(shù)學(xué)模型，非線性時滯微分方程在物理學(xué)，生物學(xué)和人口系統(tǒng)中應(yīng)用更廣。在時滯微分方程分支問題的研究中，Hopf分支是一種常見而且重要的分支現(xiàn)象。所謂一個系統(tǒng)產(chǎn)生Hopf分支，即當(dāng)該系統(tǒng)的奇點(diǎn)的穩(wěn)定性發(fā)生翻轉(zhuǎn)，從而在奇點(diǎn)附近產(chǎn)生閉軌的現(xiàn)象。對于有限時滯泛函微分方程來說，與常微分方程的Hopf分支定理相平行的結(jié)果最先由Chow和Mallet-Paret[4]于-

4、1-哈爾濱工業(yè)大學(xué)理學(xué)碩士學(xué)位論文1974年在Brown大學(xué)的一本教程中給出，后來，Hale對該定理用不同的方法給出證明，與相應(yīng)的常微分方程的Hopf分支定理相平行。文獻(xiàn)[5]給出了分析泛函微分方程的Hopf分支性質(zhì)的另一種方法，這種方法建立在抽象的常微分方程的中心流形理論的框架基礎(chǔ)上。而關(guān)于造血作用，年齡結(jié)構(gòu)模型為其研究提供了一種方法[6~11]。生理學(xué)系統(tǒng)的無規(guī)律性使得一些血液疾病表現(xiàn)為細(xì)胞數(shù)量的不穩(wěn)定，如循環(huán)嗜中性白血球減少癥，循環(huán)血小板減少癥等。人們很久之前就懷疑周期性造血疾病是由控制血細(xì)胞數(shù)量的回饋機(jī)制不正常引起的[12~19]。Mahaffy

5、的造血模型就是描述老化細(xì)胞的自然死亡和細(xì)胞重大程序性死亡的可能性。成熟細(xì)胞自動減少和人口系統(tǒng)的研究相似。當(dāng)紅血球穿過毛細(xì)管時，細(xì)胞膜被破壞，從而使紅血球老化[20]。因?yàn)榧t血球沒有細(xì)胞核來生成蛋白質(zhì)以修復(fù)細(xì)胞膜，所以細(xì)胞膜逐漸喪失柔韌性且不能再有效的向組織輸送氧氣。免疫系統(tǒng)能識別出這種細(xì)胞膜的破壞并用特殊標(biāo)簽標(biāo)記這些細(xì)胞膜，然后這些標(biāo)簽發(fā)信號給巨噬細(xì)胞或白血球，讓他們在一段時間后自動清除或吞噬這些老化的紅血球。在生態(tài)系統(tǒng)中，許多種群中的衰老個體被捕食者自動清除，但是捕食者具有有限的胃口和滿足感，因此，例如，野兔數(shù)量過多并不會引起山貓的肥胖，而是山貓種群能

6、對攝入的能量進(jìn)行自我控制。對紅血球來說，若假設(shè)標(biāo)簽是有限的或巨噬細(xì)胞數(shù)量是固定的，則老化紅血球死亡數(shù)量是固定的。凋亡[21~24]是細(xì)胞的程序性死亡，是由細(xì)胞的基因碼決定的。例如，在紅血球形成過程中，很多紅系造血祖細(xì)胞當(dāng)接到殺死細(xì)胞的命令時就開始了它們的增殖階段，直到這個信號被足夠多的細(xì)胞膜的Epo阻斷[25]。這種死亡一般發(fā)生在細(xì)胞進(jìn)入分裂的下一階段，以對細(xì)胞數(shù)量形成控制，使得生物體不能產(chǎn)生過多的紅血球。Mahaffy和Bélairetal在以前的模型的基礎(chǔ)上對紅血球建立了凋亡和老化細(xì)胞自然死亡的模型。先驅(qū)細(xì)胞由一些紅系造血祖細(xì)胞開始，這些祖細(xì)胞能夠分

7、化成自我支持種群并最終產(chǎn)生成熟紅血球。在某一點(diǎn)，紅系造血祖細(xì)胞進(jìn)一步分化并開始增殖最終產(chǎn)生紅血球。在增殖的早期階段，荷爾蒙Epo和其他荷爾蒙一起，影響著能變成紅血球的紅系造血祖細(xì)胞的數(shù)量，但這種機(jī)制的完整細(xì)節(jié)還不-2-哈爾濱工業(yè)大學(xué)理學(xué)碩士學(xué)位論文知道。提高Epo的濃度可以提高變成紅血球的紅系造血祖細(xì)胞的數(shù)量。然而，紅系造血祖細(xì)胞的數(shù)量是固定的，只有有足夠Epo的細(xì)胞才能在從增殖到成熟過程中存活。這與實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)吻合，即Epo能控制凋亡，可通過阻斷細(xì)胞程序性死亡來控制細(xì)胞成熟的數(shù)量[23][25]。當(dāng)先驅(qū)細(xì)胞通過了CFU-E階段，他們主要通過提高運(yùn)輸血色素的

8、能力來完成成熟過程。這些細(xì)胞成熟過程中沒有凋亡，當(dāng)他們變成網(wǎng)狀細(xì)胞-骨髓中的最后